In matematica, l'assioma di Dedekind, detto anche assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali ; esso afferma che ogni insieme di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore in , vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà.
Se ad esempio l'insieme considerato è quello dei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 (in simboli, l'insieme ), l'estremo superiore è . L'assioma si può enunciare anche per ogni sottoinsieme di che sia non vuoto e inferiormente limitato: in questo caso si garantisce che l'insieme abbia un estremo inferiore.
Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l'insieme definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a .
Assioma di completezza e continuità della retta Una formulazione alternativa dell'assioma di Dedekind, nota sotto il nome di assioma di completezza, è la seguente.
L'assioma di Dedekind (o di completezza) permette di porre in corrispondenza biunivoca i punti di una retta con gli elementi dell'insieme .
Completezza dei numeri reali Usando l'assioma di Dedekind si può dimostrare che i numeri reali formano uno spazio metrico completo: in altre parole, che ogni successione di Cauchy è convergente.
Dimostrazione Sia una successione di Cauchy. Sia l'insieme dei numeri reali che sono maggiori di solo per un numero finito di valori di . Poiché ogni successione di Cauchy è limitata, è non vuoto e inferiormente limitato ed ammette quindi, per l'assioma di Dedekind, un estremo inferiore . Mostriamo che effettivamente la successione tende a .
Per ogni , esiste un tale che per ogni , maggiore o uguale a . Allora la successione assume infinite volte valori all'interno dell'intervallo e un numero finito di volte nel suo complementare. Quindi è un elemento di e è maggiore di ogni elemento di , e quindi è maggiore o uguale ad .
Quindi è contenuto nell'intervallo , e per la disuguaglianza triangolare risulta che . Quindi e la successione converge. Q.E.D.
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