In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.
Per ogni primo dispari , sia un intero coprimo con . Si considerino gli interi:
e i loro residui modulo ridotti nell'intervallo . Sia il numero di questi residui che sono negativi. Allora:
dove è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.
Dimostrazione
Per il criterio di Eulero si sa che
moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di
consideriamo adesso i residui di ridotti nell'intervallo . Allora:
non ci sono due residui uguali; infatti se
allora , ed essendo , ciò e possibile solo se
non ci sono due residui opposti; infatti se
allora ma essendo ciò è impossibile.
Di conseguenza i valori assoluti dei residui sono tutti diversi e nell'intervallo , dunque per il prodotto di detti residui vale
dove è il numero dei residui negativi, quindi
e semplificando per il fattoriale di si ottiene la tesi:
Bibliografia
Voci correlate Criterio di Eulero Reciprocità quadratica Simbolo di Legendre
Collegamenti esterni Gauss's Lemma - La pagina di MathWorld sul lemma di Gauss.
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