In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.
Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico :
l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso; l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso; l'intero insieme e l'insieme vuoto sono chiusi.
Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia degli aperti complementari.
Esempi Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi: i sottoinsiemi contenenti un solo elemento; gli intervalli , con e numeri reali finiti; gli intervalli e , con e numeri reali finiti; i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi; l'insieme di Cantor.
Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi: gli intervalli e , con e numeri reali finiti; il sottoinsieme dei numeri razionali.
Altri esempi di insiemi chiusi sono: un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo; un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a dimensioni. Più in generale l'insieme
dove è un punto dello spazio ed un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico con topologia indotta dalla metrica .
Proprietà Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto. Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso. La frontiera di un qualunque insieme è chiusa. In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi. Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi. La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.
Bibliografia
Voci correlate Spazio topologico Chiusura (topologia) Insieme localmente chiuso Insieme denso Insieme aperto Frontiera (topologia) Parte interna Spazio compatto
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia generale