In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia: p.182
Definizione geometrica
Data una circonferenza unitaria di centro , l'angolo al centro tale che , con , individua su questa un punto . La retta tangente alla circonferenza in interseca l'asse nel punto ; si definisce secante di l'ascissa del punto così definito (vedi Fig. 2).
In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto adiacente p.182: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:
comunque deducibili dalla definizione di secante.
La funzione secante è definita su tutto tranne che nei punti , con , mentre la sua immagine è tutto l'insieme escluso l'intervallo .
Dimostrazione
Dimostriamo che .
Il triangolo è simile al triangolo (vedi fig.1).
Per il teorema di Talete vale la proporzione:
Ora
Quindi:
da cui
Calcolo dell'insieme di definizione e dell'immagine I punti devono essere esclusi dal dominio, poiché la funzione si trova al denominatore e si annulla in questi punti. Per quanto riguarda l'immagine, invece, si ha
ossia
Pertanto
ossia
Valori notevoli Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che :
in radianti0 in gradi0°15°30°45°60°75°90°180°270°360°
Derivate La derivata prima della secante, e le sue derivate successive, si ottengono ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente p. V17:
Relazione trigonometrica secante-cosecante Conseguenza della prima relazione fondamentale della trigonometria è la seguente relazione tra secante e cosecante:
per ogni con .
La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per .
Note
Bibliografia
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Categoria:Trigonometria