In matematica, la funzione di Cantor (a volte chiamata funzione di Cantor-Vitali, o scala del diavolo) è un esempio di funzione continua e crescente con derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di che non contengono punti dell'insieme di Cantor.
Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a .
Definizione
Con le basi La funzione di Cantor è definita nel modo seguente:
Scriviamo ogni numero in base tre. Con questa notazione: e . Notiamo che alcuni numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio (questo fatto è vero anche in base 10: infatti ). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra . Sostituiamo la prima occorrenza della cifra con un e tutte le cifre successive con . Sostituiamo tutte le cifre con . Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è .
Ad esempio: . Quindi . , al passo 2 diventa , quindi . Quindi .
Come limite di una successione La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in , costruite in questo modo: Sia . Sia una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente lati: lati sono obliqui di coefficiente angolare e lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza . Per ogni intero non negativo risulta e . In figura sono disegnate , e .
Si può "costruire" la -esima poligonale come una trasformazione della : infatti, dette per e per le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è ), allora è in per ogni , mentre ogni lato obliquo di (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo ) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli e , e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo .
Si può dimostrare che risulta:
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in . Dunque per converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.
Proprietà La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e suriettiva dall'intervallo in sé. È a variazione limitata ma non assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha misura nulla), ossia negli intervalli del tipo (0,x1x2x3...xn022222..., 0,x1x2x3...xn200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo : questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.
Voci correlate Insieme di Cantor Variabile casuale di Cantor Curva di Peano Curva di Koch
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