Biografia Neumann è nato a Königsberg in Prussia, figlio del fisico e matematico Franz Ernst Neumann, professore all'Università di Königsberg. Neumann lavorò sul problema di Dirichlet, e può essere considerato uno dei capostipiti dello studio delle equazioni integrali. La serie di Neumann, che è l'analogo della serie geometrica nel caso di matrici infinite, prende nome da lui. Allo stesso modo, anche alcune condizioni al contorno per equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali, dette condizioni al contorno di Neumann, prendono nome da lui.
Insieme al matematico Alfred Clebsch fondò la rivista di matematica Mathematische Annalen.
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