La logica fuzzy (o logica sfumata o logica sfocata) è una logica in cui si può attribuire a ciascuna proposizione o predicato un grado di verità diverso da 0 e 1 e compreso tra di loro. È una logica polivalente, ossia un'estensione della logica booleana. È legata alla teoria degli insiemi sfocati. Già intuita da Werner Karl Heisenberg, Jan Łukasiewicz e Max Black, fu concretizzata da Lotfi Zadeh.
Con grado di verità o valore di appartenenza si intende quanto è vera una proprietà, che può essere, oltre che vera (= a valore 1) o falsa (= a valore 0) come nella logica classica, anche parzialmente vera e parzialmente falsa.
Si può ad esempio dire che: un neonato è "giovane" di valore 1 un diciottenne è "giovane" di valore 0,8 un sessantacinquenne è "giovane" di valore 0,15
Formalmente, questo grado di appartenenza è determinato da un'opportuna funzione di appartenenza μF(x)= μ. La x rappresenta dei predicati da valutare e appartenenti a un insieme di predicati X. La μ rappresenta il grado di appartenenza del predicato all'insieme fuzzy considerato e consiste in un numero reale compreso tra 0 e 1. Alla luce di quanto affermato, considerato l'esempio precedente e un'opportuna funzione di appartenenza monotona decrescente quello che si ottiene è: μF(neonato) = 1 μF(diciottenne) = 0,8 μF(sessantacinquenne) = 0,15
Storia Nei primi anni sessanta, Lotfi A. Zadeh, professore all'Università della California di Berkeley, noto per i suoi contributi alla teoria dei sistemi, cominciò a capire che le tecniche tradizionali di analisi dei sistemi erano eccessivamente e inutilmente accurate per molti problemi tipici del mondo reale. L'idea di grado d'appartenenza, concetto divenuto poi la spina dorsale della teoria degli insiemi sfumati, fu da lui introdotta nel 1964, e ciò portò in seguito, nel 1965, alla pubblicazione di un primo articolo e alla nascita della logica sfumata.. Il concetto di insieme sfumato (o insieme sfocato), e di logica sfumata, attirò le aspre critiche della comunità accademica; nonostante ciò studiosi e scienziati di tutto il mondo — dei campi più diversi, dalla psicologia alla sociologia, dalla filosofia all'economia, dalle scienze naturali all'ingegneria — divennero seguaci di Zadeh.
In Giappone la ricerca sulla logica sfumata cominciò con due piccoli gruppi universitari fondati sul finire degli anni settanta: il primo era guidato, a Tokyo, da T. Terano e H. Shibata, l'altro si stabilì a Kanasai sotto la guida di K. Tanaka e Kiyoji Asai. Al pari dei ricercatori americani questi studiosi si scontrarono, nei primi tempi, con un'atmosfera avversa alla logica fuzzy. E tuttavia la loro tenacia e il duro lavoro si sarebbero dimostrati estremamente fruttuosi già dopo un decennio: i ricercatori giapponesi, i loro studenti e gli studenti di questi ultimi produssero importanti contributi sia alla teoria sia alle applicazioni della logica fuzzy.
Nel 1974, Seto Assilian ed Ebrahim H. Mamdani svilupparono, in Gran Bretagna, il primo sistema di controllo di un generatore di vapore basato sulla logica fuzzy. Nel 1976, la Blue Circle Cement e il SIRA idearono la prima applicazione industriale della logica fuzzy, per il controllo di una fornace per la produzione di cemento. Il sistema divenne operativo nel 1982.
Nel corso degli anni ottanta, diverse importanti applicazioni industriali della logica fuzzy furono lanciate con pieno successo in Giappone. Dopo otto anni di costante ricerca, sviluppo e sforzi di messa a punto, nel 1987 Seiji Yasunobu e i suoi colleghi della Hitachi realizzarono un sistema automatizzato per il controllo operativo dei treni metropolitani della città di Sendai. Un'altra delle prime applicazioni di successo della logica fuzzy è un sistema per il trattamento delle acque di scarico sviluppato dalla Fuji Electric. Queste e altre applicazioni motivarono molti ingegneri giapponesi ad approfondire un ampio spettro di applicazioni inedite: ciò ha poi condotto a un vero boom della logica fuzzy, peraltro il risultato di una stretta collaborazione, e del trasferimento tecnologico tra Università e Industria. Due progetti di ricerca nazionali su larga scala furono decisi da agenzie governative giapponesi nel 1987, il più noto dei quali sarebbe stato il Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE). Alla fine di gennaio del 1990, la Matsushita Electric Industrial Co. diede il nome di "Asai-go (moglie adorata) Day Fuzzy" a una nuova lavatrice a controllo automatico, e lanciò una campagna pubblicitaria in grande stile per il prodotto "fuzzy". Tale campagna si è rivelata un successo commerciale non solo per il prodotto, ma anche per la tecnologia stessa. Il termine d'origine estera "fuzzy" fu introdotto nella lingua giapponese con un nuovo e diverso significato: intelligente. Molte altre aziende elettroniche seguirono le orme della Panasonic e lanciarono sul mercato aspirapolvere, fornelletti per la cottura del riso, frigoriferi, videocamere (per stabilizzare l'inquadratura sottoposta ai bruschi movimenti della mano) e macchine fotografiche (con un autofocus più efficace). Ciò ebbe come risultato una vera mania per tutto quanto era etichettato come fuzzy: i consumatori giapponesi impararono a conoscere la parola "fuzzy", che vinse il premio per il neologismo dell'anno nel 1990. I successi giapponesi stimolarono un vasto e serio interesse per questa tecnologia in Corea, in Europa e, in misura minore, negli Stati Uniti, dove pure la logica fuzzy era nata.
La logica fuzzy ha trovato applicazione anche in campo finanziario. Il primo sistema per le compravendite azionarie a logica sfumata è stato lo Yamaichi Fuzzy Fund, usato in sessantacinque aziende. Tratta la maggioranza dei titoli quotati dell'indice Nikkei Dow e consiste approssimativamente in ottocento regole, determinate con cadenza mensile da un gruppo di esperti che, se necessario, vengono modificate da esperti analisti finanziari. Il sistema è stato testato per due anni e il suo rendimento ha superato l'indice Nikkei Average di oltre il 20%. Durante il periodo di prova il sistema consigliò "sell", ossia "vendere", ben diciotto giorni prima del Lunedì Nero (19 ottobre 1987): nel corso di quel solo giorno l'indice Dow Jones Industrial Average diminuì del 23%. Il sistema divenne operativo nel 1988.
Il primo chip VLSI (Very Large Scale Integration) dedicato alla computazione d'inferenze fuzzy fu sviluppato da Masaki Togai e H. Watanabe nel 1986: chip di tal genere sono in grado di migliorare le prestazioni dei sistemi fuzzy per tutte le applicazioni in tempo reale. Diverse imprese (per esempio, Togai Infralogic, Aptronix, Inform GmbH) sono state costituite allo scopo di commercializzare strumenti hardware e software per lo sviluppo di sistemi a logica sfumata. Allo stesso tempo, anche i produttori di software, nel campo della teoria convenzionale del controllo, cominciarono a introdurre pacchetti supplementari di progettazione dei sistemi fuzzy. Il Fuzzy Logic Toolbox per MATLAB, ad esempio, è stato presentato quale componente integrativo nel 1994.
Concetti fondamentali Una delle prime formalizzazioni della logica fuzzy fu di Joseph Goguen nel 1969 nell'articolo La logica dei concetti inesatti.
Lotfi Zadeh considerava l'approccio di Goguen del 1969 alla logica dei concetti inesatti come fondamentale nel campo della logica fuzzy
Nel 1994 Zadeh scriveva:
La teoria degli insiemi fuzzy è un'estensione della teoria classica degli insiemi poiché per essa non valgono i principi aristotelici di non-contraddizione e del terzo escluso ("tertium non datur"). Si ricorda che, dati due insiemi e (non-A), il principio di non-contraddizione stabilisce che ogni elemento appartenente all'insieme non può contemporaneamente appartenere anche a ; secondo il principio del terzo escluso, d'altro canto, l'unione di un insieme e del suo complemento costituisce l'universo del discorso. In altri termini, se un qualunque elemento non appartiene all'insieme , esso necessariamente deve appartenere al suo complemento .
Tali principi logici conferiscono un carattere di rigida bivalenza all'intera costruzione aristotelica, carattere che ritroviamo immutato e indiscusso sino alla prima metà del XX secolo, quando l'opera di alcuni precursori di Zadeh (in primis Max Black e Jan Łukasiewicz) permise di dissolvere la lunga serie di paradossi cui la bivalenza della logica classica aveva dato luogo e che non era in grado di chiarire.
Il più antico e forse celebre di tali paradossi è quello attribuito a Eubulide di Mileto (IV secolo a.C.), noto anche come paradosso del mentitore, il quale, nella sua forma più semplice, recita:
"Il cretese Epimenide afferma che tutti i cretesi sono bugiardi".
In tale forma, suggerita dalla logica proposizionale, ogni affermazione esprime una descrizione di tipo dicotomico. Al contrario, nella logica predicativa ogni proposizione esprime un insieme di descrizioni simili o di fatti atomici, come nella frase tutti i cretesi sono bugiardi. Si noti che, a rigor di logica (bivalente), una formulazione del paradosso contenente tale frase è falsa, in quanto è vera la sua negazione: la negazione di tutti non è nessuno, ma non tutti, quindi non tutti i cretesi sono bugiardi, Epimenide è un bugiardo, ed essendo vera la sua negazione, l'affermazione di Epimenide risulterebbe falsa.
Ad ogni modo, il paradosso del mentitore nella sua forma proposizionale appartiene alla classe dei paradossi di autoriferimento. Ogni membro di questa classe presenta una struttura del tipo: "La frase seguente è veraLa frase precedente è falsa" o in maniera più sintetica: "Questa frase è falsa"
Orbene, la logica aristotelica si dimostra incapace di stabilire se queste proposizioni siano vere o false. Essa è strutturalmente incapace di dare una risposta proprio in quanto bivalente, cioè proprio perché ammette due soli valori di verità: vero o falso, bianco o nero, tutto o niente; ma giacché il paradosso contiene un riferimento a sé stesso, non può assumere un valore che sia ben definito (o vero o falso) senza autocontraddirsi: ciò implica che ogni tentativo di risolvere la questione posta si traduce in un'oscillazione senza fine tra due estremi opposti. Il vero implica il falso, e viceversa.
Infatti, nella logica fuzzy l'esistenza di circostanze paradossali, vale a dire di situazioni in cui un certo enunciato è contemporaneamente vero e falso allo stesso grado, è evidenziata da ciascuno dei punti d'intersezione tra una generica funzione d'appartenenza e il suo complemento, avendo necessariamente tali punti ordinata pari a ½. Ciò in quanto il valore di verità della proposizione in questione coincide con il valore di verità della sua negazione.
Gli operatori logici AND, OR e NOT della logica booleana sono definiti di solito, nell'ambito della logica fuzzy, come operatori di minimo, massimo e complemento; in questo caso, sono anche detti operatori di Zadeh, in quanto introdotti per la prima volta nei lavori originali dello stesso Zadeh. Pertanto, per le variabili fuzzy x e y si ha, ad esempio:
Si è detto che la teoria degli insiemi sfumati generalizza la teoria convenzionale degli insiemi; pertanto anche le sue basi assiomatiche sono inevitabilmente diverse. A causa del fatto che il principio del terzo escluso non costituisce un assioma della teoria degli insiemi fuzzy, non tutte le espressioni e le identità, logicamente equivalenti, dell'algebra booleana mantengono la loro validità anche nell'ambito della logica fuzzy.