In analisi funzionale, uno spazio di Besov è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando e . Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev. Nello specifico, sia:
una differenza finita e si consideri il modulo di continuità:
Se n è un numero intero non negativo, definendo con , lo spazio di Besov contiene tutte le funzioni tali che:
dove è uno spazio di Sobolev.
Nello spazio di Besov è definita la norma:
Lo spazio coincide con il classico spazio di Sobolev .
Differenze finite e moduli di continuità La differenza finita di ordine m e passo h applicata a è definita nel seguente modo:
Da cui il modulo di continuità di ordine m di in Lp è definito da:
Siano un dominio, e . Si ponga inoltre . Lo spazio di Besov:
è l'insieme delle funzioni in tali che la quasi-seminorma:
è finita. In simboli:
Norma Questo spazio è munito della norma:
Inclusioni Fra gli spazi di Besov valgono le seguenti inclusioni:
Per quanto riguarda , talvolta detto spazio di Zygmund ()DeVore, R. "Nonlinear Approximation", Acta Numerica (1998), pag. 92., si hanno le seguenti inclusioni:
dove l'uguaglianza vale per .
Interpolazione Siano un dominio lipschitziano, e . Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di in Lp:
Quindi gli spazi che interpolano e sono spazi di Besov:
Note
Bibliografia Bergh, J. and Löfström, J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag, 1976. Peetre, J. New Thoughts on Besov Spaces. Durham, NC: Duke University Press, 1976. Petrushev, P. P. and Popov, V. A. "Besov Spaces." §7.2 in Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, pp. 201-203, 1987. Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. New York: Wiley, 1998.
Voci correlate Differenza finita Modulo di continuità Spazio di Sobolev
Categoria:Spazi di Banach Categoria:Spazi di Sobolev