In meccanica razionale l'invariante dinamico è una grandezza scalare caratteristica dell'atto di moto di un corpo rigido, e vale:
La sua invarianza deriva dalla relazione tra momento meccanico M e forza F risultanti su un corpo rigido, e dalle proprietà del prodotto misto:
,
Da questa dimostrazione si evince infatti come ID sia unico per tutti i punti del corpo rigido, mentre non si mantiene generalmente costante durante il moto.
Quando l'invariante scalare è nullo il sistema dinamico è equivalente ad una forza pura, nel caso in cui il momento risultante sia nullo o i due vettori siano perpendicolari, o ad una pura coppia, nel caso in cui la forza risultante sia nulla.
Definizione Dati
dove sono i punti di applicazione dei vettori , e
l'invariante scalare è definito come
con modulo di , modulo di e θ valore dell'angolo compreso tra e .
Equivalenza tra momenti di poli diversi Il termine invariante è dovuto al fatto che esso non dipende dal polo scelto, cioè
con P e Q poli distinti.
Dimostrazione Per la teoria di equivalenza il momento di un polo Q, dato , vale
moltiplicando scalarmente per entrambi i membri si ottiene
sfruttando la proprietà ciclica del prodotto misto la relazione diventa
ma
perché è parallelo a se stesso, e quindi
Uso dell'invariante scalare Ricerca dell'asse centrale Dal valore che l'invariante scalare assume è possibile ricavare l'asse centrale (luogo dei poli di momento minimo) del sistema di vettori o, in mancanza di esso, almeno un polo di momento minimo o nullo. Supponendo un sistema di vettori a risultante non nullo, tale che R > 0, si possono ottenere i seguenti casi:
: allora P appartiene all'asse centrale, che è la retta passante per P parallela a : allora esiste un polo Q di momento nullo. Infatti:
ma , e quindi
: allora il momento è minimo quando la risultante è parallela al momento stesso. Infatti:
è minimo
Massima riducibilità di un sistema di vettori applicati L'invariante scalare è indice della possibilità di ridurre il numero dei componenti di un dato sistema di vettori in una quantità minima di un sistema ad esso equivalente. Si presentano i seguenti casi:
: il sistema è equilibrato, ossia equivalente ad un vettore nullo applicato in un punto qualunque : il sistema è equivalente ad una coppia di momento : il sistema è equivalente al vettore applicato nel polo P appartenente all'asse centrale : allora esiste un polo . Il sistema è equivalente al vettore applicato in Q appartenente all'asse centrale
: il sistema è equivalente al vettore applicato nel polo P con una coppia di momento
Bibliografia Mauro Fabrizio, Elementi di meccanica classica, Bologna, Zanichelli, 2002
Voci correlate Invariante cinematico Forza Momento meccanico Corpo rigido Momento di un vettore Poligono funicolare Prodotto scalare Prodotto vettore Prodotto misto
Categoria:Grandezze dinamiche