Il lemma di Nakayama è un teorema di grande importanza nello studio degli anelli commutativi unitari, in particolare degli anelli locali; esso dà informazioni sul rapporto tra il radicale di Jacobson di un anello e i suoi moduli finitamente generati.

Prende il nome dal matematico giapponese Tadashi Nakayama.

Enunciato Il lemma di Nakayama afferma che, se è un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di un anello e è un -modulo finitamente generato tale che , allora è il modulo nullo.

Da questo seguono due importanti conseguenze ( è sempre un ideale contenuto nel radicale di Jacobson di e un modulo finitamente generato): se è un sottomodulo di tale che , allora ; se sono elementi di le cui immagini generano , allora generano .

Il primo di questi due risultati si ottiene applicando il lemma di Nakayama a , mentre il secondo si ottiene applicando il precedente ad e al sottomodulo generato dagli .

Un enunciato più generale, a volte chiamato lemma di Nakayama, afferma che, se è un (qualsiasi) ideale di e un -modulo finitamente generato tale che , allora esiste un tale che e .

Dimostrazione La dimostrazione del lemma di Nakayama è spesso effettuata a partire dal teorema di Cayley-Hamilton, che afferma che, se è un endomorfismo tale che , allora esistono degli elementi tali che l'endomorfismo

è nullo (dove indica la composizione di con sé stesso volte).

Se ora , si può prendere come l'identità su : questo implica che l'elemento è l'elemento cercato, perché la moltiplicazione per diventa l'endomorfismo nullo, ovvero .

Se ora è contenuto nel radicale di Jacobson ed , allora è un elemento invertibile dell'anello; in particolare, l'elemento appena trovato sarà invertibile, e dunque anche dovrà essere il modulo nullo.

Anelli locali Il lemma è particolarmente utile quando l'anello è locale, in quanto in questo caso il radicale di Jacobson coincide col suo ideale massimale .

Se l'anello è anche noetheriano, stesso può essere visto come un -modulo finitamente generato: se non è un campo (ovvero ) il lemma di Nakayama implica che , e che la sua dimensione (come spazio vettoriale sul campo residuo ) è uguale al numero minimo di elementi necessari per generare . Grazie al teorema dell'ideale principale, questa dimensione è sempre maggiore o uguale della dimensione di Krull di ; quando si ha l'uguaglianza, l'anello è detto regolare.

Un'ulteriore conseguenza della lemma di Nakayama è che, su anelli locali, tutti i moduli proiettivi sono liberi.

Note

Bibliografia

Categoria:Algebra commutativa Nakayama