In geometria si definisce arco la parte di una curva regolare compresa fra due suoi punti, detti estremi dell'arco. Curve regolari sono le curve continue e dotate di tangente unica in ogni punto, come ad esempio quelle delle coniche. In particolare, un arco può essere una porzione di circonferenza.

Un arco può essere approssimato da una linea spezzata poligonale composta da un numero finito di segmenti con i vertici disposti a intervalli regolari lungo l'arco stesso. Quando la lunghezza dei segmenti tende a zero, la lunghezza e l'andatura della poligonale tendono a quelle dell'arco.

Il segmento di retta delimitato dagli estremi di un arco di circonferenza si dice corda sottesa dall'arco. L'asse di tale segmento passa sempre per il centro dell'arco.

Storia

Nel corso della storia, determinare la lunghezza di un arco irregolare (processo noto matematicamente come rettificazione di una curva) è stato considerato a lungo un problema estremamente complesso. Sebbene fin dall'antichità i matematici greci (tra cui Eudosso di Cnido e Archimede) avessero sviluppato il metodo di esaustione per calcolare l'area di figure curvilinee per approssimazione, in pochi ritenevano possibile che una curva potesse avere una lunghezza misurabile in modo esatto, come accade con i segmenti di linea retta.

Le prime misurazioni vennero effettuate attraverso metodi di approssimazione geometrica. I matematici dell'epoca tracciarono delle linee spezzate (lati di poligoni) all'interno della curva, calcolarono la lunghezza di ciascun segmento e li sommarono, ottenendo così un'approssimazione della lunghezza della curva stessa. Aumentando il numero dei segmenti utilizzati, e diminuendone conseguentemente la singola lunghezza, era possibile ottenere un'approssimazione sempre migliore.

Nel XVII secolo, il metodo di esaustione portò alla rettificazione mediante procedimenti geometrici di molte curve trascendenti: la spirale logaritmica da parte di Evangelista Torricelli nel 1645 (anche se alcuni storici ne attribuiscono il merito a John Wallis nel 1650), la cicloide da parte di Christopher Wren nel 1658, e la catenaria da parte di Gottfried Leibniz nel 1691.

Sebbene in passato venissero utilizzati vari stratagemmi geometrici per curve specifiche, l'avvento del calcolo infinitesimale ha portato con sé formule generali che forniscono soluzioni analitiche precise per calcolare la lunghezza di un arco.

Lunghezza di un arco di circonferenza Le misure degli archi di circonferenza sono espresse frequentemente in gradi o radianti, assumendo la circonferenza stessa, ovvero parte di essa, come unità di misura degli angoli.

Per trovare la lunghezza di un arco di circonferenza sotteso da due raggi che formano un angolo (espresso in radianti) fra loro, si mettono in relazione, tramite proporzione, la lunghezza dell'arco con quella di tutta la circonferenza () e l'angolo sotteso dai raggi con l'angolo giro ():

da cui si deduce che la lunghezza dell'arco è data dalla formula:

Se l'angolo è invece misurato in gradi, sapendo che la sua conversione in radianti è , la formula per la lunghezza dell'arco diventa:

Lunghezza di un arco di curva generica Considerando una funzione derivabile e la sua derivata , continue in un intervallo , la lunghezza dell'arco di curva definito dalla funzione tra i punti di ascissa e è calcolabile tramite il seguente integrale in coordinate cartesiane:

Se la curva è descritta in forma parametrica, con e , la lunghezza dell'arco tra gli istanti e è

Se la funzione è espressa in coordinate polari, dove la coordinata radiale e l'angolo sono legati dalla relazione , la lunghezza dell'arco compreso tra gli angoli e si riduce a

Nella maggior parte dei casi non è disponibile una soluzione analitica esatta per questi integrali ed è necessario ricorrere a metodi di integrazione numerica. Ad esempio, applicare la formula della lunghezza ad un'ellisse porta a un integrale ellittico di seconda specie. Tra le curve con soluzioni esatte note vi sono, oltre alla circonferenza, la catenaria, la cicloide, la spirale logaritmica e la parabola.

Note

Bibliografia

Voci correlate Arco (architettura) Calotta sferica Corda (geometria) Geometria differenziale delle curve in ℝ³ Lunghezza di un arco Metodo di esaustione Teorema sugli archi congruenti

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