In matematica, in particolare all'interno della teoria di Fredholm, un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach il cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita, e la sua immagine è chiusa, sebbene quest'ultima richiesta sia ridondante.Yuri A. Abramovich and Charalambos D. Aliprantis, "An Invitation to Operator Theory", p.156
Definizione Un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita. In modo equivalente, un operatore è di Fredholm se esiste un operatore lineare limitato tale per cui gli operatori:
sono compatti rispettivamente su e .
Lindice di un operatore di Fredholm è definito come:
Se l'indice è l'operatore è detto essere semi-Fredholm: si tratta di un operatore caratterizzato dal possedere nucleo oppure conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
Proprietà L'insieme degli operatori di Fredholm da a forma un insieme aperto nello spazio di Banach degli operatori lineari limitati (e dunque continui). Più precisamente, se è di Fredholm allora esiste tale che ogni che soddisfa è di Fredholm e ha lo stesso indice di .
Se è un operatore di Fredholm da a e è di Fredholm da a , allora la composizione è di Fredholm da a e si ha:
Se è un operatore di Fredholm, il suo aggiunto è di Fredholm e , e ciò vale anche quando e sono spazi di Hilbert (in cui la definizione di aggiunto si diversifica).
Se è un operatore di Fredholm e è un operatore compatto, allora è ancora di Fredholm e l'indice non cambia.
Note
Bibliografia D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2. A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p. 855 (NB: In this paper the word "Fredholm operator" refers to "Fredholm operator of index 0"). Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600. Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math.'' 87''', no. 1 (1980), 169–185.
Voci correlate Conucleo Nucleo (matematica) Operatore limitato Operatore lineare continuo Operatore compatto Spazio di Banach Spettro essenziale Teoremi di Fredholm Teoria di Fredholm
Collegamenti esterni
Tomasz Mrowka, A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators, Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)
Categoria:Teoria di Fredholm