In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue..
La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.
Definizione Dato un insieme e una famiglia di spazi topologici in cui sono definite le funzioni , la topologia finale su è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:
è continua.
Esplicitamente, nella topologia finale un insieme è aperto se e solo se è aperto in per ogni indice .
Proprietà
Un sottoinsieme di è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a è rispettivamente aperta o chiusa in per ogni indice .
La topologia finale su può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione è continua se e solo se è continua per ogni indice . Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue , esiste un'unica funzione continua:
Se la famiglia di funzioni ricopre (ovvero ogni è nell'immagine di qualche ) allora è una mappa quoziente se e solo se possiede la topologia finale determinata dalle mappe .
Note
Bibliografia
Voci correlate Relazione di finezza Topologia Topologia di sottospazio Topologia iniziale Topologia operatoriale Topologia quoziente
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia generale