In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.
Definizione Il gruppo modulare è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma
dove , , e sono interi e . L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.
Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale quozientato con il suo centro , dove è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo , che consiste nelle matrici
dove , , e sono interi, e le matrici e sono considerate uguali.
Presentazione Le trasformazioni
generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di e .
Geometricamente rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta , mentre rappresenta la traslazione unitaria a destra.
I generatori e soddisfano le relazioni e . Si dimostra che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione
Note
Voci correlate Trasformazione di Möbius Semipiano superiore complesso Semispazio di Poincaré Forma modulare Curva modulare Mapping class group
Collegamenti esterni
Categoria:Analisi complessa Categoria:Geometria iperbolica Categoria:Geometria algebrica