In analisi funzionale e teoria della misura, una famiglia di funzioni è uniformemente integrabile se per ogni esiste un tale che per ogni si verifica:
cioè
Tale concetto è utilizzato dal teorema di convergenza di Vitali per caratterizzare la convergenza di funzioni in .
Definizione Si dimostra che la seguente definizione è equivalente a quella data nell'introduzione. Una classe di di variabili casuali è detta uniformemente integrabile se dato esiste tale che il valore atteso:
dove è la funzione indicatrice:
In modo equivalente, una classe è uniformemente integrabile se valgono entrambi le due seguenti condizioni: Esiste un finito tale che per ogni in si ha Per ogni esiste tale che, per ogni insieme misurabile che soddisfa e per ogni in , si ha
Teoremi Un risultato che si deve a Nelson Dunford e Billy James Pettis (teorema di Dunford-Pettis)Dellacherie, C. and Meyer, P.A. (1978). Probabilities and Potential, North-Holland Pub. Co, N. Y. (Chapter II, Theorem T25). stabilisce che una classe di variabili casuali è uniformemente integrabile se e solo se è relativamente compatta rispetto alla topologia debole .
Il teorema di de la Vallée-Poussin, che prende il nome da Charles Jean de la Vallée-Poussin,Meyer, P.A. (1966). Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co, N. Y. (p.19, Theorem T22). afferma che la famiglia è uniformemente integrabile se e soltanto se esiste una funzione convessa non negativa e crescente tale che:
Note
Bibliografia
J. Diestel and J. Uhl (1977). Vector measures, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1
Voci correlate Integrale Successione di funzioni Teorema di convergenza di Vitali
Collegamenti esterni
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