In geometria, il punto di Fermat, anche chiamato punto di Torricelli o punto di Fermat-Torricelli, è il punto che minimizza la distanza complessiva da tutti e tre i vertici di un triangolo. La scoperta risale come soluzione a un problema posto da Fermat a Torricelli.

Quando un triangolo ha un angolo maggiore di 120° il punto di Fermat è posto sul vertice dell'angolo ottuso. In un triangolo in cui l'angolo maggiore misura meno di 120°, il punto di Fermat è individuato dall'intersezione delle tre linee ottenute congiungendo ciascun vertice del triangolo con il vertice, non appartenente al triangolo, del triangolo equilatero costruito sul lato opposto a tale angolo esternamente al triangolo.

Proprietà Il punto di Fermat ha diverse proprietà. Dato un triangolo si deve costruire su ogni lato un triangolo equilatero in modo da formare tre triangoli chiamati , , . Congiungendo , , queste tre rette si incontrano in un punto . Si dimostra che . Infatti i triangoli e sono congruenti perché , e sono uguali gli angoli perché ottenuti entrambi aggiungendo un angolo di 60° a . Ne segue che e analogamente si prova che . Si costruiscano tre circonferenze , , tali che sia circoscritta ad , sia circoscritta ad , sia circoscritta ad . Le tre circonferenze avranno tutte in comune il punto . Poiché i quadrilateri , sono inscritti in una circonferenza, l'angolo e l'angolo .

Ne segue che: l'angolo : quindi il punto appartiene a . Il punto appartiene a perché: l'angolo l'angolo . Allo stesso modo si dimostra che appartiene ad e anche a .

Il punto è detto "punto di Fermat" del triangolo .

Dimostrazione Lemma 1 Per ogni vettore

è equivalente al fatto che

formano tutti tra di loro un angolo di 120°. Dimostrazione del lemma 1 Siano per i versori seguenti

Sia l'angolo tra due vettori unitari e Si ha quindi che e i valori del prodotto scalare sono

Così si ottiene per Viceversa, se i versori per formano un angolo di 120° tra di loro, si ottiene

Quindi si ha

Pertanto si ottiene

Lemma 2 Per ogni vettore si ha

Dimostrazione del lemma 2 Per ogni vettore è noto che Ponendo e si ha la tesi del lemma 2.

Se il triangolo è un triangolo in cui tutti gli angoli sono inferiori a 120°, si può costruire il punto all'interno del triangolo Ora impostando il punto come origine dei vettori, per ogni punto dello spazio euclideo , si ha

Se è il punto di Fermat, allora Quindi, si ottiene l'uguaglianza del lemma 1.

Dal lemma 2, si ottiene

Da queste tre disuguaglianze e dal lemma 1, segue che

Esso vale per ogni punto dello spazio euclideo quindi se allora il valore di è minimo.

Storia Questo quesito fu posto da Fermat a Evangelista Torricelli. Egli risolse il problema in modo simile a Fermat, usando l'intersezione delle circonferenze dei tre triangoli regolari. Il suo allievo, Vincenzo Viviani, pubblicò la soluzione nel 1659.Weisstein, Eric W., Punti di Fermat su MathWorld.

Note

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Collegamenti esterni

Generalizzazione Fermat-Torricelli su Dynamic Geometry Sketches Pagina interattiva che generalizza il punto di Fermat-Torricelli

Fermat