力学系における軌道（きどう）とは、ある初期状態に対して時間発展の法則を適用して状態を変化させていったときにおける、それら全ての状態から成る相空間上の点の集合である。連続的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で一本の曲線となり、離散的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で点列となる。力学系理論の主目的は軌道を考察することにある。
定義 一般 力学系を定める相空間を 、時間を 、時間発展のルールを とする。ある に固定したときの を写像 と表し、 である。 は結合法則 で表される群構造を持ち、 は、
という性質を満たす。ここで は の単位元、 は恒等写像、 は写像の合成を意味する。
このような力学系 において、ある点 に対し
で定義される の順序部分集合 を軌道（、）と呼ぶ。ただし、 が取り得る値は が定義されている範囲に限られる。
は「 を通る軌道」や「 の軌道」と呼ばれる。後述のような前方軌道や後方軌道の場合は「 を出発する軌道」とも呼ばれる。軌道の記号には、 の他に、 、 、 、 、 などの表記がある。
上記を満たす写像 を、群 の集合 への作用という。この作用 について、 上の2点 が適当な を選びさえすれば という関係を満たすとき、 は同値関係 にあると定義する。したがって、この同値関係によって を分ける同値類を軌道 と定義することもできる。
時間 が整数のときの力学系を離散力学系と呼び、 が実数のときを連続力学系と呼ぶ。相空間上のどの点も初期値となりうるので、相空間は何かしらの軌道によって完全に埋め尽くされる。力学系理論の主目的は、系の軌道の性質・振る舞いを調べることにある。特に力学系理論の場合、時間が正または負の無限大に発散するときの漸近的振る舞いを問題とする。軌道同士の相互関係や、系に摂動が加わったときに起こる軌道全体の構造の変化なども力学系理論の題目である。
離散力学系
離散力学系は写像の反復によって定義される。相空間上のある点 に写像 を繰り返し適用することで、 という点列が得られる。点列は とも表す。この点列が離散力学系の軌道である。
例えば、 上の正弦関数 で定義される離散力学系を考える。 とすると、
というような数列がその軌道である。
細かく分けると、点列 は特に前方軌道や正の半軌道と呼ばれ、 や のように表す。
一方、 が可逆で逆写像 を持つとき、 は恒等写像だとして、 についても写像の反復 が定義できる。それによって、 という点列が定義でき、 などのように表す。
逆写像によって定まる点列 は後方軌道や負の半軌道と呼ばれる。正の半軌道と負の半軌道を足し合わせた集合
を軌道や全軌道と呼ぶ。
連続力学系
連続力学系を定義する一番普通の方法は、微分方程式による定義である。相空間 がユークリッド空間か多様体だとする。未知関数 の常微分方程式系
を考える。この微分方程式が初期条件 を満たす解を と表す。微分方程式を決めている関数 は 上にベクトル場を与える。この解 は上の節で一般的に定義した写像 と等しい。
微分方程式の解が存在する の領域を とする。連続力学系の軌道とは、
で定義される集合である。ただし、 には が小さい方から大きい方に向かって向きが付いている。
簡単のために だと仮定すれば、連続力学系の正の半軌道は、
で定義され、負の半軌道は、
で定義される。正の半軌道と負の半軌道を足し合わせた集合
を離散力学系と同様に軌道や全軌道と呼ぶ。
連続力学系の を通る軌道は、相空間上の を通る一つの曲線に対応する。この曲線を微分方程式の解曲線とも呼ぶ。解曲線上の各点 にはベクトル場のベクトル が存在し、解曲線に接している。解曲線のことを解軌道という風に呼ぶこともある。さらに、微分方程式を満たす解（すなわち関数 ） を指し、解軌道や軌道と呼ぶこともある。
例として、次のような平面上の2変数 の微分方程式を考える。
この微分方程式は解くことができ、初期点 を通る解は
と得られる。したがって点 を通る軌道は
を満たす の集合すなわち円であると、この場合は得られる。
特殊な軌道 不動点・平衡点
もっとも単純な軌道としては、離散力学系の不動点と連続力学系の平衡点がある。これら2つを共に「不動点」と呼んだり、「平衡点」と呼ぶこともある。以下では区別して記す。
離散力学系の不動点とは、写像 を適用しても動かない点のことで、 を満たす点 である。不動点 での軌道は という定数の列となる。連続力学系の平衡点とは、時間が経っても動かない点である。平衡点 での軌道は となる。微分方程式で定まる系の場合、定常解 のことで、微分方程式の右辺（ベクトル場） を満たす点 が平衡点である。
ひとまとめされることがあるように不動点も平衡点も同じ性質のものだといえる。一般化された定義を与えると、時間発展のルール が任意の について を満たすときの が不動点・平衡点である。不動点・平衡点を調べることは、一般の軌道を調べるよりも総じて容易であり、与えられた力学系を理解するための重要な手がかりとなる。
周期軌道
もう一つの比較的単純な軌道が周期軌道である。周期軌道もまた、力学系を理解する重要な手がかりを与える。
離散力学系で、非零のある自然数 について を満たす を周期点と呼ぶ。条件を満たす最小の を周期や最小周期と呼ぶ。そして、ある周期点を通る軌道を周期軌道と呼び、軌道は周期的であるという。周期 の軌道だと
のようになる。周期軌道の各点は全て同じ周期の周期点である。
連続力学系の場合、非零のある実数 と任意の について微分方程式の解が を満たすとき、解を周期解と呼ぶ。条件を満たす最小の を周期や最小周期と呼ぶ。このような解の軌道、すなわち集合
が連続力学系の周期軌道である。連続力学系の周期軌道は相空間上で閉曲線となり、そのため閉軌道とも呼ばれる。
準周期軌道 相空間がトーラスになると、準周期軌道という種類の軌道が存在し得る。2次元トーラス 上の
という微分方程式を考える。トーラスは を法として得られる商集合 と見なし、 である。
比 が有理数のとき、この連続力学系の軌道はトーラス上で周期軌道となる。一方、 が無理数のとき、任意の解は 上を稠密に埋めつくす。後者のような解を準周期解、軌道を準周期的であるあるいは準周期軌道と呼ぶ。軌道が準周期的なとき、軌道は閉じることも自己交差することもなく、トーラスに永久に巻きつきながら、トーラス上を軌道で埋め尽くす。一般の 次元トーラス についても同種のことが成り立つ。
上の準周期軌道をポアンカレ写像によって離散力学系に落とし込むと、ポアンカレ断面でトーラスを切り取った格好となるので、準周期軌道は断面上で閉じた曲線として反映される。 でポアンカレ写像を構成すると、
となり、円周上の点を角度 ずつ動かす写像になる。 が無理数のとき、この写像の軌道は円周を稠密に埋め尽くす。離散力学系のこのような軌道も準周期的、準周期軌道と呼ばれる。
ヘテロクリニック軌道・ホモクリニック軌道
離散力学系 で相異なる周期点 が存在し、ある点 の極限集合 および が
を満たすとき、 を点 と を結ぶヘテロクリニック軌道と呼ぶ。連続力学系の解 についても、相異なる平衡点 が存在し、点 が
を満たすとき、 を点 と を結ぶヘテロクリニック軌道と呼ぶ。。離散力学系・連続力学系ともに、特に が一致 するようなヘテロクリニック軌道 はホモクリニック軌道と呼ばれる。
ヘテロクリニック軌道またはホモクリニック軌道は、点 が双曲型周期点または双曲型平衡点で、 の安定多様体 と 不安定多様体 が
を満たす、すなわち と が一致したり、交差したり、接しているときに存在し得る。離散力学系においてホモクリニック軌道すなわち の場合、安定多様体と不安定多様体の共通部分上の点 をホモクリニック点という。もしあるホモクリニック点 で と が横断的に交差すれば、同時に と の交差が無限に生まれ、カオスが生成される。
カオス軌道
決定論的な時間発展ルールが与えられた力学系で見られる不安定で有界な非周期的振る舞いをカオスと呼ぶ。カオスの厳密な定義は研究者間でも確定していない。定義を与える場合でも、力学系がカオス的なのか、不変集合がカオス的なのか、軌道がカオス的なのかという複数の観点がある。
では、軌道がカオス的であることを次のように定義付けている。 上の離散力学系の前方軌道 がカオス的またはカオス軌道であるとは、 が有界である。 極限集合 が周期軌道ではない。 最大リアプノフ指数 が正である。 が満たされることをいう。 上の連続力学系の前方軌道 がカオス的またはカオス軌道であるとは、 が有界である。 が周期軌道、平衡点、平衡点とそれらを結ぶヘテロクリニック軌道ではない。 最大リアプノフ指数 が正である。 が満たされることをいう。反発的な準周期軌道をカオス軌道に含めないようには、各リアプノフ指数 はいずれも ではないという条件を課す。
では、力学系 の を出発する軌道がカオス的であるとは、 がカオス的な不変集合を含むことと定義付けている。ここで、不変集合 がカオス的であるとは、 が有界な閉不変集合 上で制限された系の振る舞いが、リアプノフ指数や位相的エントロピーなど何らかの意味で初期値鋭敏性を持つ が満たされることで、さらに位相的推移性などのような分解不可能性が に課されてもよいとされる。
出典
参照文献