ウィルソン素数

ウィルソン素数（ウィルソンそすう、）とは、p2 が (p − 1)! + 1 を割り切るような素数 p である。ここで "!" は階乗。任意の素数 p が (p − 1)! + 1 を割り切ることはわかっている（ウィルソンの定理）。名称はイングランドの数学者にちなむ。

既知のウィルソン素数は 5, 13, 563 のみである（）。もしこれ以外のウィルソン素数が存在すれば、それは 2 より大きくなければならないA Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.。ウィルソン素数は無限個存在し、さらに区間 [x, y] に約 log(log(y)/log(x)) 個存在すると予想されているThe Prime Glossary: Wilson prime。

新たなウィルソン素数を発見すべく、コンピュータによる探索が幾度か行われたA search for Wieferich and Wilson primes, p 443。分散コンピューティングにはウィルソン素数の探索も含まれておりIbercivis site、また mersenneforum.org でも探索の連携が行われているDistributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)。

一般化

オーダー n のウィルソン素数ウィルソンの定理はより一般に、任意の整数 n ≥ 1 と素数 p ≥ n に対し

と表現できる（だから）。オーダー n の一般化ウィルソン素数（generalized Wilson prime of order n）とは p2 が(n − 1)!(p − n)! − (− 1)n を割り切るような素数 p のことである。

任意の自然数 n に対し、オーダー n の一般化ウィルソン素数は無限に存在すると予想されている。

np2 が(n − 1)!(p − n)! − (− 1)n を割り切るような素数 pOEIS15, 13, 563, ...22, 3, 11, 107, 4931, ...37, ...410429, ...55, 7, 47, ...611, ...717, ...8...9541, ...1011, 1109, ...1117, 2713, ...12...1313, ...14...15349, ...1631, ...1761, 251, 479, ...1813151527, ...1971, ...2059, 499, ...21217369, ...22...23...2447, 3163, ...25...2697579, ...2753, ...28347, ...29...30137, 1109, 5179, ...

オーダー n の一般化ウィルソン素数の最小値を順に並べた数列は以下のとおりである。この次の項（n = 8）の値は 1.4×107 よりも大きいことが分かっている。 5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... （）

ニアウィルソン素数

p B 1282279 +20 1306817 −30 1308491 −55 1433813 −32 1638347 −45 1640147 −88 1647931 +14 1666403 +99 1750901 +34 1851953 −50 2031053 −18 2278343 +21 2313083 +15 2695933 −73 3640753 +69 3677071 −32 3764437 −99 3958621 +75 5062469 +39 5063803 +40 6331519 +91 6706067 +45 7392257 +40 8315831 +3 8871167 −85 9278443 −75 9615329 +27 9756727 +23 10746881 −7 11465149 −62 11512541 −26 11892977 −7 12632117 −27 12893203 −53 14296621 +2 16711069 +95 16738091 +58 17879887 +63 19344553 −93 19365641 +75 20951477 +25 20972977 +58 21561013 −90 23818681 +23 27783521 −51 27812887 +21 29085907 +9 29327513 +13 30959321 +24 33187157 +60 33968041 +12 39198017 −7 45920923 −63 51802061 +4 53188379 −54 56151923 −1 57526411 −66 64197799 +13 72818227 −27 87467099 −2 91926437 −32 92191909 +94 93445061 −30 93559087 −3 94510219 −69 101710369 −70 111310567 +22 117385529 −43 176779259 +56 212911781 −92 216331463 −36 253512533 +25 282361201 +24 327357841 −62 411237857 −84 479163953 −50 757362197 −28 824846833 +60 866006431 −81 1227886151 −51 1527857939 −19 1636804231 +64 1686290297 +18 1767839071 +8 1913042311 −65 1987272877 +5 2100839597 −34 2312420701 −78 2476913683 +94 3542985241 −74 4036677373 −5 4271431471 +83 4296847931 +41 5087988391 +51 5127702389 +50 7973760941 +76 9965682053 −18 10242692519 −97 11355061259 −45 11774118061 −1 12896325149 +86 13286279999 +52 20042556601 +27 21950810731 +93 23607097193 +97 24664241321 +46 28737804211 −58 35525054743 +26 41659815553 +55 42647052491 +10 44034466379 +39 60373446719 −48 64643245189 −21 66966581777 +91 67133912011 +9 80248324571 +46 80908082573 −20 100660783343 +87 112825721339 +70 231939720421 +41 258818504023 +4 260584487287 −52 265784418461 −78 298114694431 +82

小さな |B| に対し合同式 (p − 1)! ≡ −1 + Bp (mod p2) を満たす素数 p をニアウィルソン素数（near-Wilson prime）という。ニアウィルソン素数で B = 0 としたものがウィルソン素数である。本節の表はから 4 までで |B| ≤ 100 となる全てのニアウィルソン素数を挙げたものである。

ウィルソン数ウィルソン数（Wilson number）は W(n) ≡ 0 (mod n2) となる自然数 n である。ここでであり、定数 e は n を法とする原始根が存在するとき 1 , そうでないとき e = −1 とするGauss's generalization of Wilson's theoremを参照。ガウスはウィルソンの定理を一般化し、次を証明した。

ここで、p は奇数、α は正整数。剰余が −1 になるための必要十分条件は m を法とする原始根が存在することである。。全ての自然数 n に対し W(n) は n で割り切れる（この商を一般化ウィルソン商という（））。ウィルソン数は 1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... （）

と続く。ウィルソン数 n が素数であるとき、ウィルソン素数である。5 までに13個のウィルソン数が存在する。

ウィルソン素数

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