加法的組合せ論におけるクネーザーの定理（Kneser's theorem）は群の部分集合の加法的性質に関する定理で、整数列のシュニレルマン密度に関するマンの定理（シュニレルマン密度の記事を参照）に対応する定理である。 マルティン・クネーザーによって（整数列の下極限密度に関する定理と共に）1953年から1956年にかけて証明され、Kempermanによって下のわかりやすい形にまとめられた。
定理
G をアーベル群、A, B を G の空でない有限部分集合とする。
とおく（この H は G の部分群である）。 ならば
となる および 。
弱い形の定理
となる G の非自明な部分群 H が存在することは比較的簡単に証明できる。 に関する数学的帰納法で証明する。
のとき、どのような部分群 H をとっても
である。
として、定理が となるような空でない有限部分集合 に対して成り立つとする。 任意の に対して
が成り立つとする。このとき H を の形の元から生成される G の部分群とする。 B の元 b0 を1つとれば H は の形の要素をすべて含むから
かつ に対して
となる がとれる。 また より A + H = A であるが、 B が空でないことから より A + H は G とは一致せず、特に H も G とは一致しない。よって H は G の非自明な部分群であり
が成り立つ。
次に
が成り立つ がとれるとする。 とおく。
かつ
となる。そこで
とおく。
より
が成り立つ。また ならば となることから つまり
が成り立つ。
ところで
より だから である。よって帰納法の仮定より
となる G の非自明部分群 H がとれる。上記の不等式を使って
がいえる。よって帰納法により弱い形の定理が証明される。
脚注
参考文献