マリナ・セルヒイウナ・ヴィヤゾフスカ（、、1984年12月2日 - ）は、ウクライナ出身の数学者。スイス連邦工科大学ローザンヌ校（EPFL）教授。
数の基本的な性質を研究する「数論」の専門家で、同じ大きさの球を限られた空間にどれだけすき間なく詰められるかという「球充填問題」に関する業績で世界的に高く評価されている。2022年にフィールズ賞受賞。
概要 三次元世界では、空間に「球」を最もすきまなく詰める方法は果物売り場のオレンジのような並べ方である。ヴィヤゾフスカは、目で見ることのできない八次元の空間について、最も密な球の並べ方を数学的に証明した。さらに共同研究によって、二十四次元についても最良の並べ方を証明した。
この成果が特に評価されているのは、長年解けなかった問題を解決しただけでなく、本来は数の研究に使われる「モジュラー形式」という高度な数学を、球の並べ方の問題に結びつける新しい方法を生み出したためである。その後、この方法は、物体どうしの力や距離を考えたときに、どの配置が最も安定しているかを調べる研究にも発展した。
ヴィヤゾフスカは、こうした業績によって、数学界で最も権威ある賞の一つであるフィールズ賞を2022年に受賞している。
経歴 1984年にウクライナの首都キーウに生まれた。科学技術分野の優れた児童のためのエリート中等教育機関であるに通った。ペチェルシク地区にあるこの教育機関は、数学、物理学、コンピューターサイエンスの専門学校として1962年に設立された。この教育機関の数学と物理学のプログラムは、キエフ大学の学部と協力して開発されていた。ヴィヤゾフスカは、この学校で、教師であるアンドリー・クニャジュクに特に影響を受けた。2002年、2003年、2004年、2005年に、彼女はキーウ大学の学生として、大学生を対象とした国際数学コンペティションに出場し、2002年と2005年の両年で優勝したIMC official results: 2002, 2003, 2004, and 2005. Accessed 2016-04-07.
ヴィヤゾフスカは、からを、から修士号を取得し、さらに2013年にボン大学から博士号を取得した。彼女の博士論文である「モジュラー形式と特殊サイクル」は解析的整数論に関するもので、ドン・ザギエとが審査した。
2018年1月以来、彼女はテニュアトラック助教授として短期間勤務した後、スイスのスイス連邦工科大学ローザンヌ校（EPFL）で常勤の数論の教授を務めているMaryna Viazovska promoted to Full Professor 。
2016年に、ヴィヤゾフスカは球充填問題を8次元で そして、他の人と協力して24次元で解決した 。以前は、問題は3次元以下でしか解決されておらず、3次元での証明（ケプラー予想）にはコンピューターを用いて50,000行のプログラムコードを使用して300ページのテキストで提示されていたがNatalie Wolchover In Computers We Trust? // «Quanta», 22 лютого 2013 、対照的に、8次元と24次元でのヴィヤゾフスカの証明は、わずか23ページ程で「驚くほど単純」であった 。
球充填に関する研究だけでなく、ヴィヤゾフスカはボンダレンコとラチェンコによるの研究でも知られている。彼女は彼らと一緒に、任意の次元の小さなデザインの存在についてのコレヴァールとマイヤーズの推測を証明した。 この結果は、彼女の共著者であるアンドリー・ボンダレンコが2013年に近似理論でヴァシルA.ポポフ賞を受賞した貢献の1つとなる.。
主な業績
数論・モジュラー形式・離散最適化 ヴィヤゾフスカは、ボン大学においてドン・ザギエの指導を受け、モジュラー形式を研究して2013年に博士号を取得した。初期の研究は、モジュラー形式、その周期、特殊値、多重値など、解析的整数論と代数的構造の接点に位置している。こうした数論研究で培われたモジュラー形式に関する知識が、後の球充填問題で必要となる特殊な補助関数の構成に重要な役割を果たした。
モジュラー形式とは、複素上半平面上で定義され、特定の一次分数変換に対して強い対称性を示す正則関数である。典型的には、整数が
を満たすとき、重さのモジュラー形式は、次のような変換則を満たす。
ここで、
である。
モジュラー形式は、自由に形を変えられる一般の関数とは異なり、強い変換則によってその形が厳しく制限されている。ヴィヤゾフスカは、この剛直な変換則を利用して、フーリエ変換を施したときに特別な性質を示す放射状シュワルツ関数を構成した。フィールズ賞受賞業績の解説を執筆したヘンリー・コーンは、この特殊関数の構成を、8次元球充填問題の解決を可能にした中心的な革新として説明している。
球充填問題では、ある点配置が最適であることを証明するため、単に既知の配置の密度を計算するだけでは不十分である。あらゆる可能な配置がそれを上回れないことを示す上界が必要となる。ヴィヤゾフスカは、数論から得られるモジュラー形式を用いて、この上界を正確に実現する補助関数を構成した。その意味で、彼女の研究は、数論上の対称性を離散幾何学上の最適化問題へ移すものであった。
8次元球充填問題の解決 ヴィヤゾフスカは2017年の論文Maryna S. Viazovska, “The sphere packing problem in dimension 8,” Annals of Mathematics, 185 (2017), pp. 991–1015.において、8次元ユークリッド空間では、格子を中心として球を配置する方法が、格子充填に限らず、あらゆる同一球充填のなかで最大密度を達成することを証明した。
球充填問題とは、同じ大きさの球を互いに重ならないように空間へ配置したとき、空間全体に占める球の割合をどこまで大きくできるかを問う問題である。三次元では、果物を積み重ねるような面心立方格子型の配置が最密である。8次元では、と呼ばれる例外的に対称性の高い格子が、長年にわたり最適候補と考えられていた。
格子の最短非零ベクトルの長さをとする規格化では、各格子点を中心として半径の球を置くことができる。格子の基本領域の体積は1であるため、その充填密度は次のようになる。
ヴィヤゾフスカは、この値が単なる有力候補ではなく、8次元における厳密な最大値であることを証明した。
コーン＝エルキースの線形計画法 証明の基礎となったのは、ヘンリー・コーンとノーム・エルキースが構築した、フーリエ解析を用いる球充填密度の上界である。この方法では、適切な性質をもつ補助関数を一つ構成することにより、あらゆる球充填の密度に上限を与える。
適切に規格化したフーリエ変換を
とする。
放射状シュワルツ関数
が、次の条件を満たすとする。
このとき、中心間距離が少なくともである球充填の密度に、関数から決まる上界を与えることができる。
8次元と24次元については、この線形計画法による数値計算が、それぞれ格子とリーチ格子の密度に極めて近い上界を与えることが知られていた。しかし、既知の格子充填の密度と完全に一致する補助関数の厳密な式は、ヴィヤゾフスカの研究以前には得られていなかった。
「魔法関数」の構成 ヴィヤゾフスカは、モジュラー形式および準モジュラー形式の積分変換を組み合わせ、8次元フーリエ変換に関して固有関数となる二つの放射状関数を構成した。さらに、それらを適切に組み合わせることによって、コーン＝エルキース上界を鋭くするために必要な符号条件を満たす補助関数を得た。
この補助関数は、格子に現れる非零ベクトルの長さに対応して、
という半径で所定の零点をもつ。
こうした零点では、補助関数による上界の計算における不等式が等号となる。その結果、コーン＝エルキースの上界は格子の充填密度
と完全に一致する。これにより、格子が8次元における最密球充填であることが証明された。
この証明が高く評価される理由は、未解決問題を解決したことだけではない。従来は数値計算によって存在が予想されていた最適補助関数を、モジュラー形式から明示的かつ解析的に構成する方法を示したからである。この構成法は、後の24次元球充填、格子とリーチ格子の普遍最適性、およびフーリエ補間理論へと直接発展した。
受賞歴 2016年 サレム賞を受賞。 2017年 球充填とモジュラー形式の研究でクレイ研究賞とSASTRAラマヌジャン賞を受賞。 2017年12月 「8次元と24次元の球充填問題解決」により、2018年 New Horizons in Mathematics Prizeを受賞。彼女は2018年国際数学者会議で招待者として講演を行った。 2019年 Ruth Lyttle Satter Prize 2019とフェルマー賞を受賞。 2020年 ヨーロッパ数学会賞 を受賞。 2020年 からスイス・ラトシス賞 (National Latsis Prize) を受賞。 2022年 フィールズ賞受賞Fields Medals 2022。
家族 夫は物理学者。息子がいるОлеся Яремчук. Марина В'язовська // «TheUkrainians», 3 листопада 2016。
出典
外部リンク 公式ウェブサイト マリナ・ヴィヤゾフスカの講義 Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS)