円錐曲線

円錐曲線（えんすいきょくせん、）とは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面、円錐断面（）として得られる曲線群の総称である。

歴史古代ギリシャのアポロニウスが円錐曲線論の体系を著書にまとめ、中世ヨーロッパではケプラーによって天体の軌道との関連が見出された。またアポロニウスによる総合幾何学的な円錐曲線論はオイラーによって解析幾何学を用いて現代的に書き換えられた。

概要

円錐曲線は、-平面上で定義され、次の陰関数曲線によって与えることが出来る。

また、任意の2次式に対し、が円錐曲線になることから、円錐曲線は二次曲線とも呼ばれる。

任意の円錐曲線は、適当に直交変換することによって、次の形のいずれかに変形することができる（括弧内は円錐の切断方法）。 400px|right| 円（全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断）

楕円（全ての母線と交わり、底面に平行でなく、上下いずれか一方の円錐に交わる平面で切断）

放物線（母線に平行な面で切断）

双曲線（母線に平行でなく、上下両方の円錐に交わる平面で切断）

二直線（軸を全て含む平面で切断）

尚、全てである。上の形の式を円錐曲線の標準形という。ただし、二直線は退化していると考え、円錐曲線に含まない場合も多い。また、楕円と正円とは円錐曲線の種別としてはしばしば区別を受けない。学問によっては、正円を円錐曲線に含まないこともある。

楕円と双曲線の標準形の証明は離心率により、証明できる。離心率がであるような円錐曲線を C とする。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が = , 焦点の一つが F(, 0) となったとする。

楕円と双曲線の任意の点 P(, ) に対し、方程式

が成立するが、となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理すると、

さらに両辺をで割ると、 (*) 離心率 0 ＜＜ 1 であれば、 C は楕円となる。 (*)の式においてとし、中心-焦点距離 = = とすると、

これが楕円の標準形である。

離心率＞ 1 であれば、 C は双曲線となる。 (*)の式において = = とすると、

これが双曲線の標準形である。

共焦点有心円錐曲線族

次の式を考える。 ① ただし、a > b > 0 , k ≠ b2 , k < a2 である。

この式は楕円の式そして双曲線の式に似ている。この式は、 ② に対して k の値により次の曲線になる。 k < 0 のとき、②の外側の楕円 0 < k < b2 のとき、②の内側の楕円 b2 < k < a2 のとき、双曲線になり、焦点は () になる。

上の3つの場合に置いて、楕円と双曲線はともに円錐曲線であり、かつ焦点が同じなので、①は共焦点有心円錐曲線族（Family of confocal central conics）という。

離心率による分類

別な定義のしかたとして、直線と、その直線上に含まれないような点を取り、点から直線への垂線に対して点のある方向が正と定めそれを軸とする。直線上で点を動かすとき、その直角位置上でを満たすような点の集合は円錐曲線を描く。この時、との比の値を離心率といい、直線を準線、点を焦点という。

ここで、焦点を極とする平面極座標を新たにとれば、動点の軌道は

という極方程式によって表すことができる。は線分の長さ、は線分が軸となす角度である。この式は、とという2つのパラメーターを通じて、楕円・放物線・双曲線の3種の円錐曲線を統一的に表しているといえる。

離心率は、描かれる円錐曲線の概形を次のように決定するパラメーターである。：楕円：放物線：双曲線他方、は半通径または半直弦と呼ばれるパラメーターで、焦点から準線までの距離に離心率を掛けたものである。

なお、この方法で円錐曲線を描画した際、正円は現れない。これが円錐曲線に正円を含まないことがある由来になっているのだが、数学で円錐曲線を考える際は、便宜上であるとき円を描くとされる（実際は点となるときもある）。

代数構造

円錐曲線は種数 0 をもつ。したがって一変数の有理関数によって

と表すことができる。から一点をとり、その点を通る直線とと交点を求めることでこのような表示を求めることができる。

もしが有理数の係数によって定義され、なおかつ有理点を持てば、は有理係数の有理関数となり、これによってすべての有理点を表す式が得られる。

脚注

参考文献

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