平坦射

平坦射（へいたんしゃ、）とは、数学の代数幾何学におけるスキーム論の用語で、スキームからスキームへの射

であって茎に誘導される写像がすべて環の平坦写像になるもののことをいう。つまり、のすべての点に対して

が平坦写像になるもののことをいうEGA IV2, 2.1.1.。環の写像

が平坦とは、準同型であってこれにより

が平坦加群になることである。スキームの射が全射かつ平坦であるとき、忠実平坦というEGA 0I, 6.7.8.。

平坦射の感覚的な理解のうえでは次の2つが基本的である。

平坦性はである（このことを以下ではと呼ぶ）。つまり、（ある有限性の条件の下で）スキームの射はほとんどの点で平坦であり、平坦性が崩れるのは例外的な部分集合においてである。このことは可換環論における一般自由性の帰結である。

平坦射ではファイバーの等次元性が成り立つ。また、ある仮定のもとではファイバーが等次元であれば平坦である（#奇跡的平坦性）。このことから、平坦性とはすなわちファイバーが等次元であることと思える。この点に特に着目し、ファイバーに等次元性の条件を課したいときに平坦性を仮定することがある。また、平坦射は等次元のファイバーの族であることを強調したいとき、平坦射を平坦族ということも多い。例えば、双有理幾何学での代数曲面のブローダウンという操作では、ある特定の1点でのの次元は1であるが、他の点での次元はすべて0なので、平坦ではない。

平坦射は色々な種類のやの定義に使われる。これらは深い理論で、扱いやすいものではない。平坦射はエタール射の定義、ひいてはエタール・コホモロジーの定義にも使われる。エタール射とは、平坦かつ有限型かつ不分岐な射のことであった。

例

アフィンスキームの射

を考える。これは環の準同型

から誘導されているものとする。これが平坦であることを示すには

を計算すればよい可換環上の加群が平坦であることと任意のイデアルについてであることは同値である（Stacks Project, Tag 00M5）。このことと、は単項イデアル整域なのでイデアルが簡単に分類できることを使ってもわかる。。を

と分解して、先のスキームに対応する加群をテンソルして、加群の系列

を得る。は零因子ではないのでこの核は自明である。したがってホモロジー群は消える。

奇跡的平坦性

平坦射の例はからも得られる。奇跡的平坦性とは、コーエン・マコーレー・スキームから正則スキームへの射

は、ファイバーが等次元であれば平坦であるという定理である。これから簡単に得られる平坦射の例としては、楕円ファイバー空間、滑らかな射、各滑層上で奇跡的平坦性が成り立つへの射などがある。

ヒルベルトスキーム

普遍性を持つスキームの平坦射の例はヒルベルトスキームである。ヒルベルトスキームは平坦射の普遍族のパラメーター空間なので、すべての平坦射はあるヒルベルトスキームからの引き戻しである。つまり、

を射影空間に閉部分スキームとして埋め込める平坦射とすると、射が存在してはこの射による普遍族の引き戻しになる。は平坦なのでファイバー

はすべて同じヒルベルト多項式

を持つので、上記のヒルベルトスキームを

で置き換えてもよい。

平坦射ではない例

ブローアップ

平坦射ではない射の例としてはブローアップ

がある。簡単な例として、の1点でのブローアップを考える。その1点を原点とすると、射は

で与えられる。点でのファイバーは

のコピーである。つまり

ということであるが、これは

からしたがう。しかし原点に対しては同型

が成り立つ。このことと奇跡的平坦性の補題により平坦ではないことが分かる。

無限分解

平坦射ではない簡単な例は

である。このことを見るには

はを表す記号。

が無限複体であることを見ればよい。の平坦分解

を取り、この分解にをテンソルして

であることが分かる。したがって平坦ではない。

平坦射の性質

をスキームの射とする。射

に対して、第2成分への射影をと書くことにすると、射が平坦であることと、すべてのに対して引き戻し

が準連接

加群の圏から準連接

加群の圏への完全関手になることは同値であるEGA IV2, Proposition 2.1.3.。

と

をスキームの射とし、はの点で平坦とする。このとき、が

で平坦であることと、がで平坦であることは同値であるEGA IV2, Corollaire 2.2.11(iv).。特に、が忠実平坦なら、が平坦または忠実平坦であることと

がそれぞれ平坦または忠実平坦であることは同値であるEGA IV2, Corollaire 2.2.13(iii).。

基本的な性質

平坦射の合成は平坦EGA IV2, Corollaire 2.1.6.。

平坦射のファイバー積は平坦、忠実平坦射のファイバー積は忠実平坦EGA IV2, Corollaire 2.1.7, and EGA IV2, Corollaire 2.2.13(ii).。

平坦性と忠実平坦性は基底変換で保たれる。つまり、に対して、が平坦または忠実平坦ならファイバー積もそれぞれ平坦または忠実平坦であるEGA IV2, Proposition 2.1.4, and EGA IV2, Corollaire 2.2.13(i).。

（局所的に有限表示の）射が平坦となる点の集合は開集合EGA IV3, Théorème 11.3.1.。

が忠実平坦かつ有限表示とする。が有限型または有限表示であれば、もそれぞれ有限型または有限表示であるEGA IV3, Proposition 11.3.16.。

をスキームの平坦射とする。

を上の有限表示の準連接層（例えば連接層）とし、を上のの零化イデアルとする。このとき、包含写像の引き戻しは単射でのにおける像は上のの零化イデアルであるEGA IV2, Proposition 2.1.11.。

が忠実平坦でを準連接加群とする。このとき、大域切断の引き戻し写像は単射であるEGA IV2, Corollaire 2.2.8.。

を平坦射とする。とをスキーム、と

をこれらの

による基底変換とする。

が準コンパクトかつ支配的ならば、基底変換も準コンパクトかつ支配的であるEGA IV2, Proposition 2.3.7(i).。

が忠実平坦なら、引き戻し写像は単射であるEGA IV2, Corollaire 2.2.16.。

が準コンパクトかつ準分離的とする。をの閉像とし、を標準的単射とする。このとき、基底変換で定義される閉部分スキームはの閉像であるEGA IV2, Proposition 2.3.2.。

位相的性質

が平坦とすると、次がすべて成り立つ。

の任意の点との任意の一般化に対して、の一般化でとなるものが存在するEGA IV2, Proposition 2.3.4(i).。

の任意の点に対してが成り立つEGA IV2, Proposition 2.3.4(ii).。

の任意の既約閉部分集合に対して、の任意の既約成分からへの射は支配的であるEGA IV2, Proposition 2.3.4(iii).。

とをの2つの既約閉部分集合ではに含まれているものとする。このとき、の任意の既約成分に対しての既約成分でを含むものが存在するEGA IV2, Corollaire 2.3.5(i).。

の任意の既約成分に対しての閉包はの既約成分であるEGA IV2, Corollaire 2.3.5(ii).。

が既約で生成点の逆像が既約であればも既約であるEGA IV2, Corollaire 2.3.5(iii).。

が閉であれば、の任意の連結成分の像はの連結成分EGA IV2, Proposition 2.3.6(ii).。

の任意の部分集合に対してが成り立つEGA IV2, Théorème 2.3.10.。

が平坦かつ局所的に有限表示であれば、は普遍的開写像（絶対開ともいう）であるEGA IV2, Théorème 2.4.6.。しかし、が忠実平坦かつ準コンパクトであるとき、仮にとがともにネーターであったとしても、一般にはは開写像にならないEGA IV2, Remarques 2.4.8(i).。またこれの逆も成り立たない。を被約スキームからへの標準的な写像とするとき、は普遍的同相写像となるが、が被約ではなくネーターであればは決して平坦にはならないEGA IV2, Remarques 2.4.8(ii).。

が忠実平坦であれば次が成り立つ。

の位相はについての商位相であるEGA IV2, Corollaire 2.3.12.。

がさらに準コンパクトととし、をの部分集合とすると、がの局所的に閉な副構成可能部分集合であるための必要十分条件はがの局所的に閉な副構成可能部分集合であることであるEGA IV2, Corollaire 2.3.14.。

が平坦かつ局所的に有限表示とすると、次に挙げる各性質 P に対して

が P である点の集合は開集合であるEGA IV3, Théorème 12.1.6.。

セールの条件（固定したに対して）

幾何学的に正則

幾何学的に正規

さらにが固有射だったとすると、次に挙げる各性質についても同じことが成り立つEGA IV3, Théorème 12.2.4.。

幾何学的に被約

幾何学的に被約かつ個の幾何学的連結成分を持つ（固定したに対して）

幾何学的に整

平坦性と次元

と

を局所ネータースキームとし、を射とする。

をの点、とする。が平坦であれば、が成り立つEGA IV2, Corollaire 6.1.2.。逆に、すべてのに対してこの等式が成り立ち、がコーエン・マコーレイ、が正則、そしてが閉点を閉点に写すなら、は平坦であるEGA IV2, Proposition 6.1.5. が正則という仮定は必要である。例えば、は、が正則、が正規、が全射な有限射だが平坦ではない。参考：Generalizing miracle flatness (Matsumura 23.1) via finite Tor-dimension。

が忠実平坦ならば、の各閉部分集合に対してが成り立つEGA IV2, Corollaire 6.1.4.。

が平坦、を上の準連接層とする。の射影次元が以下なら、の射影次元も以下であるEGA IV2, Corollaire 6.2.2.。

降下する性質

の点でが平坦とする。がで被約または正規なら、もでそれぞれ被約または正規であるEGA IV2, Proposition 2.1.13.。逆に、がさらに有限表示でがで被約または正規なら、もでそれぞれ被約または正規であるEGA IV3, Proposition 11.3.13.。

特に、が忠実平坦でが被約または正規であれば、はそれぞれ被約または正規である。が忠実平坦かつ有限表示であれば、のすべてのファイバーが被約または正規であることはがそれぞれ被約または正規であることを意味する。

がの点で平坦とする。このとき、がで整または整閉であれば、もでそれぞれ整または整閉である。

が忠実平坦とする。が局所的に整での基礎位相空間が局所ネーターならば、も局所的に整であるEGA IV2, Proposition 2.1.14.。

が忠実平坦かつ準コンパクトとする。が局所ネーターなら、も局所ネーターであるEGA IV2, Proposition 2.2.14.。

が平坦かつとがともに局所ネーターとする。がで正則なら、もで正則である。逆に、がで正則で、がで正則なら、もで正則であるEGA IV2, Corollaire 6.5.2.。

が平坦かつとがともに局所ネーターとする。がで正規なら、もで正規である。逆に、がで正規で、がで正規なら、もで正規であるEGA IV2, Corollaire 6.5.4.。

を忠実平坦な射とする。を上の準連接層とし、をのへの引き戻しとする。このとき、が上平坦であることとが上平坦であることは同値であるEGA IV2, Proposition 2.5.1.。

が忠実平坦かつ準コンパクトとする。を上の準連接層、をこのへの引き戻しとする。このとき、が有限型、有限表示、階数で局所自由となることと、が対応する性質を持つことは同値であるEGA IV2, Proposition 2.5.2.。

をスキームの射とする。を忠実平坦かつ準コンパクトな射とし、, , をによる基底変換とする。このとき、次に挙げる各性質 P に対して、が性質 P を持てばも性質 P を持つEGA IV2, Proposition 2.6.2.。

開閉準コンパクトかつその像の上への同相写像同相写像

さらに、次に挙げる各性質 P に対して、が性質 P を持つことと

が性質 P を持つことは同値であるEGA IV2, Corollaire 2.6.4 and Proposition 2.7.1.。

普遍的開普遍的閉普遍的同相写像（universal homeomorphism）準コンパクト準コンパクトかつ支配的準コンパクトかつ普遍的共連続（universally bicontinuous）分離的準分離的局所有限型局所的に有限表示有限型有限表示固有同型単射開埋入準コンパクトな埋入閉埋入アフィン準アフィン有限準有限整

忠実平坦射で降下しない性質もある。例えば、「局所同型」という性質は、が局所同型写像であってもが局所埋入ですらないということはあり得るので、降下しないEGA IV2, Remarques 2.7.3(iii).。

が準コンパクト、を上の可逆層とする。このとき、が豊富または非常に豊富であることと、その引き戻し

がそれぞれ豊富または非常に豊富であることは同値であるEGA IV2, Corollaire 2.7.2.。しかし、「が射影的であることとが射影的であることは同値」という主張は成り立たない。また、「が固有かつが射影的ならは準射影的」という主張も成り立たない。これは、に降下しない上の豊富層が存在し得るからであるEGA IV2, Remarques 2.7.3(ii).。

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