フールマン円

thumb|300px|right|フールマン円 thumb|300px|right|フールマン円とフールマン三角形（赤色）。はそれぞれナーゲル点と垂心を表し、元の三角形の内接円の半径をとするとき、 が成り立つ。 ユークリッド幾何学において、フールマン円（フールマンえん、）は、ドイツの数学者、ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点と垂心を直径の両端とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, , pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).。フールマン円の中心は Encyclopedia of Triangle Centers において として登録されている。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ、内角をそれぞれ、半周長を、外接円の半径を、内接円の半径をとすると、フールマン円の半径 は

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である。

一般化 について、その辺上にない点の擬調和三角形をとする。また、をそれぞれで鏡映した点をとする。（フールマン三角形）の外接円をのヘギー円（-Hagge circle）またはのフールマン円（-Fuhrmann circle）と言う。名称はカール・ヘギーに由来する。が内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす。

ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem）。 の等角共役点とのヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。 ヘギー円の半径はと外心の距離に等しい。 垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、は共線である。 Christopher J Bradleyは対垂三角形を用いたヘギー円の一般化を発表している。

2020年、Vu Thanh Tungは次の一般化を示した。

点に対して、の交点を、円と直線のでない方の交点を、直線と円のでない方の交点をとする。同様にも定義したとき、は共円である。この円をVu Circleという。を垂心とすれば、ヘギー円となる。

注釈

参考文献 J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

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