ハドヴィッガー・フィンスラー不等式

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式（ハドヴィッガー・フィンスラーふとうしき、）または単にハドヴィッガーの不等式は、平面幾何学における三角形の幾何不等式である。具体的には、三角形の3辺の長さをそれぞれ、面積をとして次の不等式が成立する。

関連する不等式

（Weitzenböck's inequality）はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の系である。

逆にハドヴィッガー・フィンスラー不等式は、ヴァイツェンベックの不等式をcircummidarc triangleに適応すれば得ることができる。

ヴァイツェンベックの不等式はヘロンの公式を用いて証明できる。ヘロンの公式を用いた証明では、等号成立条件は元の三角形が正三角形であること、つまりであることが分かる。

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式は凸な四角形に拡張することができる。4辺の長さをそれぞれ、面積をとして次の不等式が成立する。

ただし

等号成立条件は四角形が正方形である、つまり であるとき。

証明 余弦定理より

ただしはの夾角。これを変形して、

と置けば、

半角の公式または倍角の公式より、

が成立するので、

を得る。この式をすべての辺に適用して辺々足せば、

を得る。ただしはそれぞれ三角形の他の内角。正接関数はの範囲で下に凸であるので、イェンセンの不等式より

したがって である。ところでは三角形の面積を表すから、題意の不等式を得る。

歴史 ハドヴィッガー・フィンスラー不等式はポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーの名を冠している。彼らは共同論文内でこの不等式をフィンスラー・ハドヴィッガーの定理とともに発表した。

関連項目

三角形に関する不等式の一覧 等周定理

出典

参考文献

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86

外部リンク