数学と物理学の関係

数学と物理学の関係（すうがくとぶつりがくのかんけい、）は、数学と物理学の関係性。古代以来、哲学者・数学者・物理学者によって研究され、より近年では歴史家や教育学者によっても論じられてきたUhden, Olaf; Karam, Ricardo; Pietrocola, Maurício; Pospiech, Gesche (20 October 2011). "Modelling Mathematical Reasoning in Physics Education". Science & Education. 21 (4): 485–506. Bibcode:2012Sc&Ed..21..485U. doi:10.1007/s11191-011-9396-6. S2CID 122869677.。一般にきわめて親密な関係と考えられておりFrancis Bailly; Giuseppe Longo (2011). Mathematics and the Natural Sciences: The Physical Singularity of Life. World Scientific. p. 149. .、数学は「物理学に不可欠な道具」とSanjay Moreshwar Wagh; Dilip Abasaheb Deshpande (27 September 2012). Essentials of Physics. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 3. .、物理学は「数学における豊かな着想と洞察の源泉」と形容されてきたAtiyah, Michael (1990). On the Work of Edward Witten (PDF). International Congress of Mathematicians. Japan. pp. 31–35. Archived from the original (PDF) on 2017-03-01.。

最も古く、かつ頻繁に議論されてきた主題には、両分野の主要な相違、相互影響、物理学における数学的厳密性の役割、そして数学が物理学で有効に機能することをどう説明するかという問題が含まれる。

アリストテレスは著作『自然学』で、数学者の研究が物理学者の研究といかに異なるかという主題を扱っているLear, Jonathan (1990). Aristotle: the desire to understand (Repr. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. p. 232. .。数学が自然の言語であるという考察は、ピタゴラス派の思想にも見られる。すなわち「数が世界を支配する」「万物は数である」という確信でありGerard Assayag; Hans G. Feichtinger; José-Francisco Rodrigues (10 July 2002). Mathematics and Music: A Diderot Mathematical Forum. Springer. p. 216. .Al-Rasasi, Ibrahim (21 June 2004). "All is number" (PDF). King Fahd University of Petroleum and Minerals. Archived from the original (PDF) on 28 December 2014. Retrieved 13 June 2015.、二千年後にはガリレオ・ガリレイも「自然という書物は数学という言語で記されている」と述べているAharon Kantorovich (1 July 1993). Scientific Discovery: Logic and Tinkering. SUNY Press. p. 59. .Kyle Forinash, William Rumsey, Chris Lang, Galileo's Mathematical Language of Nature Archived 2013-09-27 at the Wayback Machine.。

歴史的相互作用 球の体積公式に対する厳密な数学的証明を与える前に、アルキメデスは天秤上での物体の釣り合いを想像するなど、物理的な推論を用いて解に到達したArthur Mazer (26 September 2011). The Ellipse: A Historical and Mathematical Journey. John Wiley & Sons. p. 5. Bibcode:2010ehmj.book.....M. .。アリストテレスは、物理学と数学を理論的諸学に分類し、これを実践的諸学（倫理学・政治学など）や生産的諸学（医学・植物学など）と区別したShields, Christopher (2023), "Aristotle", in Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2023 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2024-11-11。

17世紀以降、数学における最重要の多くの進展は物理学の研究によって動機づけられ、その後の世紀でも続いた（もっとも19世紀には数学がしだいに物理学から独立性を高めていった）E. J. Post, A History of Physics as an Exercise in Philosophy, p. 76.Arkady Plotnitsky, Niels Bohr and Complementarity: An Introduction, p. 177.。微積分の創出と発展は物理学の必要性と強く結びついていたRoger G. Newton (1997). The Truth of Science: Physical Theories and Reality. Harvard University Press. pp. 125–126. .。ガリレオやアイザック・ニュートンらの業績から生じた新しい力学を扱うための新たな数学言語が求められたのであるEoin P. O'Neill (editor), What Did You Do Today, Professor?: Fifteen Illuminating Responses from Trinity College Dublin, p. 62.。導関数の概念が必要とされたが、ニュートンには現代的な極限概念はなく、代わりに無限小量を用いた。これは当時、厳密な基礎づけを欠いていたRédei, M. "On the Tension Between Physics and Mathematics". J Gen Philos Sci 51, pp. 411–425 (2020). https://doi.org/10.1007/s10838-019-09496-0。この時期、物理学と数学の区別はほとんどなくTimothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (18 July 2010). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. p. 7. .、例えばニュートンは幾何学を力学の一部門と見なしていたDavid E. Rowe (2008). "Euclidean Geometry and Physical Space". The Mathematical Intelligencer. 28 (2): 51–59. doi:10.1007/BF02987157. S2CID 56161170.。

非ユークリッド幾何学（カール・フリードリヒ・ガウス、ボーヤイ・ヤーノシュ、ニコライ・ロバチェフスキー、ベルンハルト・リーマンによって定式化）は、物理学を単一のユークリッド幾何という制約から解放したRead, Charlotte (1968). "Alfred Korzybski: His contributions and their historical development". The Polish Review. 13 (2). University of Illinois Press: 5–13. ISSN 0032-2970. JSTOR 25776770. Retrieved 2025-01-01.。その一形式であるリーマン幾何学は、アルベルト・アインシュタインが一般相対性理論を構築するための主要な数学的枠組みを与えた""Riemann, Georg Friedrich Bernhard" Complete Dictionary of Scientific Biography". www.encyclopedia.com. Retrieved 2025-01-08.。

19世紀、オーギュスト・コントは科学の階層において、数学に依存するがゆえに物理学と天文学を数学より一般性が低くかつ複雑な学として位置づけたBourdeau, Michel (2023), "Auguste Comte", in Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2023 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2024-11-08。1900年、ダフィット・ヒルベルトは数学の発展のための23の問題の中で、物理学の公理化を第6問題とした。この問題は未解決のままであるGorban, A. N. (2018-04-28). "Hilbert's sixth problem: the endless road to rigour". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 376 (2118): 20170238. doi:10.1098/rsta.2017.0238. ISSN 1364-503X. PMC 5869544. .。

1930年、ポール・ディラックは、積分に現れると一点の値を拾い上げるような挙動をするディラックのデルタ関数を導入したが、その数学的厳密性には疑義があった。のちに数学者ローラン・シュワルツがシュワルツ超函数を発展させ、その基礎づけを与えたLamb, Evelyn (2018-04-24). "The coevolution of physics and math". symmetry magazine.。

両分野の連関は、しばしば異なる名称が付けられた同種の概念を対応づけるだけで見えてくる。1975年のWu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1975-12-15). "Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields". Physical Review D. 12 (12): 3845–3857. doi:10.1103/PhysRevD.12.3845. ISSN 0556-2821.は、ゲージ理論の概念を微分幾何の概念と対応させて示した好例であるZeidler, Eberhard (2008-09-03). Quantum Field Theory II: Quantum Electrodynamics: A Bridge between Mathematicians and Physicists. Springer Science & Business Media. .。

物理学は数学ではない 数学と物理の関係は密接だが、両者は同義ではない。数学では対象を厳密に定義し、論理的に関連づけることができるが、その対象は実験的測定と関係を持つ必要はない。物理学における定義は、自然界を前にすれば抽象化や理想化であり、自然と比較したときに目的に照らして十分な近似である。

1960年、ゲオルク・ラッシュは、ニュートンの法則でさえも含めて「どのモデルも真ではない」と述べ、モデルは真偽ではなく与えられた目的への適用可能性で評価すべきだと強調したRasch, Georg (1960). Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests. Danish Institute for Educational Research. p. 37. .。たとえば、ニュートンは観測に基づいて といった定義の周りに物理モデルを築き、微積分の発展と高精度の惑星力学へと導いたが、その後この定義はより改良された力学モデルによって置き換えられたFeynman, Richard P. (2011). "Characteristics of Force". The Feynman lectures on physics. Volume 1: Mainly mechanics, radiation, and heat (The new millennium edition, paperback first published ed.). New York: Basic Books. .。数学は、その性質を確実に知りうる対象を扱うErnest, Paul (2003) . The philosophy of mathematics education. Studies in mathematics education (Reprint ed.). New York: Routledge. .。デイヴィッド・ヒュームによれば、観念それ自体だけを扱う命題（数学で出会うような命題）は確実に真であると示しうるが、現実世界の経験に関わる結論はすべて「蓋然的推論」によってしか到達できないRussell, Paul, ed. (2016). The Oxford Handbook of Hume. Oxford University Press. pp. 34, 94. .。このことは、アルベルト・アインシュタインの言うところの次の状況へと帰着する。「どれほど多くの実験があっても、私が正しいことは証明できない。たった一つの実験が、私を誤りだと証明しうるFundamentals of Physics - Volume 2 - Page 627, by David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker (1993)。」純粋数学の研究における最終目標は厳密な証明であるのに対し、物理学ではヒューリスティックな議論で最先端研究が進むこともあるMICHAEL ATIYAH ET AL. "RESPONSES TO THEORETICAL MATHEMATICS: TOWARD A CULTURAL SYNTHESIS OF MATHEMATICS AND THEORETICAL PHYSICS, BY A. JAFFE AND F. QUINN. https://www.ams.org/journals/bull/1994-30-02/S0273-0979-1994-00503-8/S0273-0979-1994-00503-8.pdf"。要するに、方法も目標も、物理学者と数学者では異なるRedish, Edward F.; Kuo, Eric (2015-07-01). "Language of Physics, Language of Math: Disciplinary Culture and Dynamic Epistemology". Science & Education. 24 (5): 561–590. arXiv:1409.6272. doi:10.1007/s11191-015-9749-7. ISSN 1573-1901.。それでもによれば、数学の公理は単なる慣習ではなく、物理的起源を持つRoland Omnès (2005) Converging Realities: Toward a Common Philosophy of Physics and Mathematics p. 38 and p. 215。

数学は物理学である ロシア・ソ連の数学者ウラジーミル・アーノルドの有名な格言に「数学とは、実験が安上がりに済む物理学の一部である」というものがあるGusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N (December 2010), "Obituary: Vladimir Arnold (12 June 1937 – 3 June 2010)" (PDF), Newsletter of the European Mathematical Society, 78: 28–29Euler M. (2004). "The role of experiments in the teaching and learning of physics" [JB]. Proceedings of the International School of Physics (Research on Physics Education), pp. 175–221. https://doi.org/10.3254/978-1-61499-012-3-175。この言い回しは論争やパロディすら生んだが、アーノルドはこれを擁護しているArnold, V. I. (1999). "Mathematics and physics: mother and daughter or sisters?". Physics-Uspekhi. 42 (12): 1205–1217. Bibcode:1999PhyU...42.1205A. doi:10.1070/pu1999v042n12abeh000673. S2CID 250835608..。数学者とは、厳密さをある程度犠牲にしてでも直観を重視する風潮が数学に見られると指摘し、その風潮は数学と物理の相互作用に起因すると示唆しているJaffe, Arthur; Quinn, Frank (1993). ""Theoretical mathematics": toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics". Bulletin of the American Mathematical Society. 29 (1): 1–13. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00413-0. ISSN 0273-0979.。W.V.O.クワインのの枠組みでは、数学における信念であっても、物理学と同様に「経験の法廷」に付されるQuine, W. (1953). "Two Dogmas of Empiricism" In From a Logical Point of View. Cambridge: Harvard University Press.。

物理学における厳密性の役割 厳密性は純粋数学において不可欠であるSteven Weinberg, To Explain the World: The Discovery of Modern Science, pp. 9–10.。しかし物理学の文献に見られる多くの定義や議論には、数学の厳密性の基準に達しない概念やアイデアが含まれることがあるKevin Davey. "Is Mathematical Rigor Necessary in Physics?", The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 54, No. 3 (Sep., 2003), pp. 439–463 https://www.jstor.org/stable/3541794Mark Steiner (1992), "Mathematical Rigor in Physics". https://www.taylorfrancis.com/chapters/edit/10.4324/9780203979105-13/mathematical-rigor-physics-mark-steinerP.W. Bridgman (1959), "How Much Rigor is Possible in Physics?" https://doi.org/10.1016/S0049-237X(09)70030-8。

たとえばフリーマン・ダイソンは、量子場理論には二つの「顔」があると特徴づけた。外向きの顔は自然に向けられており、そこで量子場理論の予測はきわめて成功している。内向きの顔は数学的基礎を覗くが、そこでは不整合や不可解さが見いだされる。すなわち、この物理理論の成功は、厳密な数学的裏づけの欠如にもかかわらず達成されているのであるMitra, Asoke N.; Dyson, Freeman J., eds. (2000). Quantum field theory: a twentieth century profile. New Delhi: Hindustan Book Agency [u.a.] .Zeidler, Eberhard (2006). Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-540-34764-4. .。

ジャフィーとクインら一部の数学者は、非厳密な数学研究も場合によっては便益をもたらしうると主張する。

哲学的問題 数理哲学で検討される問題には、次のようなものがある。

物理世界の研究における数学の有効性の説明：

数学と物理を明確に画定すること：ある成果や発見について、それが数学に属するのか物理に属するのか判然としない場合があるPierre Bergé, Des rythmes au chaos.。

物理空間の幾何は何か？Gary Carl Hatfield (1990). The Natural and the Normative: Theories of Spatial Perception from Kant to Helmholtz. MIT Press. p. 223. .

数学の公理の起源は何か？Gila Hanna; Hans Niels Jahnke; Helmut Pulte (4 December 2009). Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives. Springer Science & Business Media. pp. 29–30. .

既存の数学は、物理理論の創造と発展にどのように影響するか？"FQXi Community Trick or Truth: the Mysterious Connection Between Physics and Mathematics". Archived from the original on 14 December 2021. Retrieved 16 April 2015.

算術は分析的か、それとも総合的か？James Van Cleve Professor of Philosophy Brown University (16 July 1999). Problems from Kant. Oxford University Press, USA. p. 22. .（イマニュエル・カントの分析と総合の区別を参照）

物理実験で結果を見ることと、数学的計算で結果を見ることの本質的差は何か？Ludwig Wittgenstein; R. G. Bosanquet; Cora Diamond (15 October 1989). Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge, 1939. University of Chicago Press. p. 96. .（アラン・チューリングとルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン論争より）

ゲーデルの不完全性定理は、物理理論が常に不完全であることを意味するのか？Pudlák, Pavel (2013). Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity: A Gentle Introduction. Springer Science & Business Media. p. 659. ."Stephen Hawking. "Godel and the End of the Universe"". Archived from the original on 2020-05-29. Retrieved 2015-06-12.（ステファン・ホーキングによる問題提起）

数学は発明か発見か？Mario Livio (August 2011). "Why math works?". Scientific American: 80–83.（らも論じる、古来の問い）

教育 近年、この二つの学問は、相互関係が数多くあるにもかかわらず、別々に教えられるのが通例であるKaram; Pospiech; & Pietrocola (2010). "Mathematics in physics lessons: developing structural skills Archived 2017-07-12 at the Wayback Machine"。このため、フェリックス・クライン、 リヒャルト・クーラント、ウラジーミル・アーノルド、のように数学教育にも関心を持つ専門の数学者たちは、数学を自然科学により密接に関連づけて教えることを強く提唱してきたStakhov "Dirac’s Principle of Mathematical Beauty, Mathematics of Harmony"Richard Lesh; Peter L. Galbraith; Christopher R. Haines; Andrew Hurford (2009). Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies: ICTMA 13. Springer. p. 14. .。物理専攻の大学生向けの初年次数学科目は、多くの場合数学者が担当するが、その思考様式や、その後の物理の授業での使われ方について、物理学者と数学者の見方が異なるにもかかわらずそうなっている"Why is Amp`ere's law so hard? A look at middle-division physics" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2023-08-03.。

関連項目 純粋数学 応用数学

脚注