G2 は14次元単純リー群であり、3つの単純リー群の一つである。対応するリー代数はであり、代数群の一つである。階級は2である。G2の単純形は八元数であり、SO(7)群の正規部分群である。単純ベクトルは8次元スピノール表現に対応する。単純リー群にはAn, Bn, Cn, Dnと、例外型である, , , , がある。G2 はそのうちの一つである。
概要 リー代数は最も小さい例外単純リー群である。1887年5月23日、ヴィルヘルム・キリングが今でいるに該当する14次元単純リー群を提唱した。
詳細
カルタン行列
G2のカルタン行列は以下の通りである。
ディンキン図形及びルート図 ディンキン図形及びルート図は以下の通りである。 代替文=Dynkin diagram of G 2160x160ピクセル160x160ピクセル188x188pxG2のディンキン図形G2のルート系。A2 の立方八面体への射影G2の部分群としてのF4とE8の射影 (1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1) (0,1,−1), (0,−1,1) (2,−1,−1), (−2,1,1) (1,−2,1), (−1,2,−1) (1,1,−2), (−1,−1,2)
ワイル群及びコクセター群 ワイル群及びコクセター群は12次元二面体群である。これの最小次元はである。
ホロノミー群 G2 はリーマン多様体におけるの一つである。そのホロノミー多様体はとも呼ばれる。
生成子 14個の生成子A, ..., Nから成る生成子行列は以下の通りである。
これは以下のリー群に該当する
には480の異なる表現がある。 には30の異なる表式と16の異なる記号がある。代数学的には、少なくとも11の代数はから導かれる。
表現 サムネイル|376x376ピクセル|G2の77個の表現行列 表現はワイルの指標公式による。これらの表現はにある：
1, 7, 14, 27, 64, 77 (2重項), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (2重項), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (2重項), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090....
関連項目
カルタン行列 ディンキン図形 Exceptional Jordan algebra（英語版） Fundamental representation（英語版） G2-structure（英語版） リー群 Seven-dimensional cross product（英語版） 単純リー群 ダビデの星
参考文献