数学の分野における集合論的トポロジー（しゅうごうろんてきトポロジー、英: set-theoretic topology）とは、集合論の手法や成果を一般位相幾何学に応用、あるいは両者を融合させて研究する分野である。この分野では、主として通常の標準的な集合論の枠組み（ZFC）だけでは解決できないような位相空間論上の問題（代表例としてススリンの問題など）や、空間のパラメーターを無限基数によって記述する研究が扱われる。
集合論的位相幾何学における主な研究対象 ダウカー空間
一般位相幾何学において、ダウカー空間（英: Dowker space）とは、規定の分離公理（）を満たす正規空間でありながら、可算パラコンパクトではないような位相空間のことである。
数学者クリフォード・ヒュー・ダウカー（Clifford Hugh Dowker）は長年、このような反例（ダウカー空間）は実在しないのではないかと予想していた。この「ダウカーの予想」は長く未解決のままであったが、1971年になりメアリー・エレン・ルーディン（Mary Ellen Rudin）が実際に反例となる空間を構築したことで決着したM.E. Rudin, A normal space X for which X × I is not normal, Fundam. Math. 73 (1971) 179-186. Zbl. 0224.54019。ただし、このときルーディンが作った空間は濃度が という極めて巨大なものであり、位相空間としての素行も非常に悪い特殊なものであった。
その後、1996年にゾルターン・バログ（Zoltán Tibor Balogh）が、特別な公理を仮定しない通常のZFCの枠組みにおいて、濃度が連続体濃度（小規模で扱いやすいサイズ）であるダウカー空間の構成に初めて成功したZ. Balogh, "A small Dowker space in ZFC", Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996) 2555-2560. Zbl. 0876.54016。また、M. コジュマンとサハロン・シェラハ（Saharon Shelah）はPCF理論を応用し、ルーディンの空間の部分空間として、濃度が であるダウカー空間を導き出しているM. Kojman, S. Shelah: "A ZFC Dowker space in : an application of PCF theory to topology", Proc. Amer. Math. Soc., 126(1998), 2459-2465.。
正規ムーア空間 一般位相幾何学におけるかつての最重要未解決問題の一つに、正規ムーア空間問題（英: normal Moore space question）がある。この問題は長年にわたり世界中で激しい研究競争が繰り広げられたが、最終的に「この命題が正しいか否かは、通常のZFC公理系からは証明も反証もできない（独立している）」という事実が証明され、決着を見た。
基数関数
位相空間が持つ様々な構造や「大きさ」を無限基数によって定量化・分類するための道具が基数関数（英: cardinal function）である。なお、一部の研究者は「一般位相幾何学において有限の基数を扱う意味はない」という立場から、基数関数が有限の値を返さないよう定義式に「」を加えるなどの調整を行うことがある。以下に代表的な基数不変量を挙げる。
最も原初的な不変量は、位相空間 自体の集合としての濃度 、および開集合全体の集合（位相）の濃度 である。 重さ（ウェイト、英: weight）：空間 が持つ開基の濃度の最小下限を で表す。 である空間は第二可算空間と呼ばれる。 -重さ：空間 の -開基（空でない開集合の族で、任意の開集合がそのいずれかを包含するもの）の最小濃度。 指標（キャラクター、英: character）：空間 のある1点 における局所基（近傍基）の最小濃度を とする。空間全体の指標は次のように定義される。
である空間は第一可算空間と呼ばれる。 稠密度（英: density）：空間 における稠密部分集合の最小濃度を とする。 となる空間は可分空間と呼ばれる。 リンデレフ数（英: Lindelöf number）：任意の開被覆が「高々基数 枚の部分被覆」に縮小できるような最小の無限基数 。これが である空間がリンデレフ空間である。 セルラーツィ（胞状度）（英: cellularity）：空間 に含まれる、互いに交わらない空でない開集合の族の濃度の最大上限。
緊密性（タイトネス、英: tightness）：空間 の点 において、 となる任意の部分集合 に対し、 かつ を満たすような の部分集合 が常に選べる最小の基数 を と表す。空間全体の緊密性は であり、これが である空間は可算生成空間（可算緊密空間）と呼ばれる。
マーティンの公理
任意の基数 に対して定義される命題 とは、以下の主張を指す。
可算鎖条件（ccc）を満たす任意の半順序集合 と、その中の稠密集合の族 （ただし ）が与えられたとき、すべての に対して を満たすような 上のフィルター が存在する。
通常のZFCの定理として、連続体濃度 に対して は不成立となることが知られている。そのため、一般にマーティンの公理（MA）と呼ばれるものは以下の命題を指す。
マーティンの公理（MA）： を満たす任意の基数 について、 が成り立つ。
ここでいう半順序集合における「反鎖（アンチチェイン）」とは、どの2要素も共通の下限を持たない（両立しない）ような元の集合のことである（これは木構造における反鎖の定義とは異なる）。
マーティンの公理からは、組み合わせ論、解析学、そして位相空間論において非常に興味深い多くの帰結が得られる。
ポーランド空間上のアトム（原子）を持たない -有限なボレル測度において、 個以下の零集合の和集合は再び零集合になる。特に、実数直線 上のルベーグ測度 0 の部分集合を 個集めてきても、その和集合の測度は 0 のままである。 濃度が であるコンパクトハウスドルフ空間 は列コンパクトになる（すなわち、任意の点列が収束する部分列を持つ）。 自然数全体の集合 上の非単項ウルトラフィルターは、濃度が 未満の基を持たない。 が正しければ、cccを満たす位相空間同士の直積空間もまた必ずcccを満たす（ここから、ススリン直線は存在しないことが従う）。 マーティンの公理に連続体仮説の否定（）を組み合わせると、自由群ではない「ホワイトヘッド群」の存在が導かれる。これを利用して、シェラハはホワイトヘッドの問題がZFCから独立していることを証明した。
強制法
強制法（きょうせいほう、英: Forcing）とは、ポール・コーエンが集合論における無矛盾性や独立性を検証するために編み出した極めて強力な手法である。1963年、コーエンはこの手法を用いて、選択公理および連続体仮説がツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）から独立していること（証明も反証もできないこと）を初めて実証した。1960年代を通じて手法の簡素化と洗練が進み、現在では集合論のみならず、再帰理論などの広範な数理論理学の分野で不可欠な技術となっている。
直感的なイメージとして、強制法とは現在の集合論の「宇宙（元々の世界）」 を、より巨大な宇宙 へと拡張する作業に相当する。拡張された新しい宇宙の中には、例えば元々の世界には存在しなかった自然数集合 の新しい部分集合（強制実数など）が大量に付け加えられる。これにより、世界全体の集合のバランスが変わり、意図的に連続体仮説を破るような世界を作り出すことが可能になる。
一見すると矛盾しているように思えるが、これは無限集合の持つ性質（カントールのパラドックスなど）を巧妙に利用したものである。原理的には、元々の宇宙の要素 を新しい世界のペア に写像し、そこに という「新たな集合」を滑り込ませるような関係性を構築していく。強制法はこの拡張プロセスの制御を高度に行うことで、拡張後の宇宙がどのような数学的性質を満たすかを緻密にコントロールすることを可能にしている。
参考文献
関連文献