ヤング関数（ヤングかんすう、）は、解析学、特に関数空間の一種であるバーンバウム＝オルリッチ空間の研究において用いられる凸関数のクラスである。名称は数学者ウィリアム・ヘンリー・ヤングにちなむ。
動機 通常のLp空間は、 という形のべき関数を用いて定義される。しかし、解析学の諸問題（調和解析や微分方程式など）においては、べき関数よりも速く、あるいは遅く増大する関数を用いて空間を構成する方が自然である場合がある。例えば、 空間などはその代表例である。ヤング関数は、このような「増大度」を規定する関数を一般化したものであり、より柔軟な関数空間の枠組みを提供する。
定義 関数 がヤング関数であるとは、それが凸関数、偶関数、下半連続であり、かつ次のいずれの関数でもない（非自明である）ことをいう： 恒等的に 0 である関数 原点以外で無限大となる関数 （これは 0 関数の共役凸関数である）
ヤング関数 が値として をとらないとき、これは「有限」であると言われる。
ヤング関数 とその共役凸関数 がともに有限であるとき、これを「厳密（strict）」であるという。これは、次の条件と同値である：
また、ヤング関数の逆関数は次のように定義される：
N-関数 一部の数学者（やヤコフ・ルティツキーなど）は、ヤング関数にさらに以下の条件を課し、これを「N-関数」（N-function）と呼んで区別しているKrasnosel'skii, M.A.; Rutickii, Ya B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Gordon & Breach.：
性質 ヤング関数は凸解析および関数空間論において、以下の基本的な性質を持つ。 連続性: ヤング関数 が有限であれば、その定義域において連続である。また、一般の下半連続なヤング関数であっても、値が有限な範囲では連続となる。 増大性: において は単調非減少である。 共役性: ヤング関数の共役凸関数（フェンシェル共役） もまたヤング関数となる。これらは積に対するヤングの不等式 を満たす。 零点: 定義より である。
ルクセンブルクノルム 集合 上のσ-有限測度 とヤング関数 が与えられたとき、 上の可測関数 に対して、以下のルクセンブルクノルム（）を定義できる：
このノルムが有限となる関数の集合が、バーンバウム＝オルリッチ空間 を構成する。
例 以下の関数は代表的なヤング関数である：
指数型: べき型: この場合、ルクセンブルクノルムは通常の ノルムと という関係にある。 対数型:
Δ2条件 ヤング関数がどの程度の速さで増大するかを規定する条件として、条件（デルタ2じょうけん）が重要である。
ヤング関数 が、ある定数 および が存在して、すべての に対して
を満たすとき、 は無限大付近で 条件を満足するという。
この条件の有無は、対応するオルリッチ空間 の構造に決定的な影響を与える： が 条件を満たすとき、空間 は線型空間として と一致する。 さらに、測度空間が可分であれば、 が 条件を満たすことは、オルリッチ空間 が可分であるための必要十分条件となる。 べき関数 はこの条件を満たすが、指数関数 は満たさない。
参考文献
Léonard, Christian. "Orlicz spaces." (2007).
関連項目 凸関数 バーンバウム＝オルリッチ空間 積に対するヤングの不等式