四分位範囲

サムネイル|273x273ピクセル|正規分布の箱ひげ図と確率密度関数の図。四分位範囲は箱ひげ図で「IQR」と表示されている範囲にあたる。四分位範囲（しぶんいはんい、）は記述統計量の一種であり、データの統計的ばらつきの指標の一つである。英語表記から IQR と略されることも多い。四分位範囲はデータの75パーセンタイルから25パーセンタイルを引くことで求められるZwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. page 18.。データの四分位数を低い方からそれぞれで表すとすれば、で計算できる。

四分位範囲はデータのばらつきに対するとしても用いられ、箱ひげ図において明瞭に視覚化される。

他の統計量との関係四分位範囲は、上下25%のデータを除外した場合の範囲とみなすことができる。そのため、範囲に比べてロバストである(外れ値に影響されにくい)。

確率分布の視覚的表現である箱ひげ図において、四分位範囲は「箱」として表現される。

四分位範囲の半分の値は四分位偏差()やsemi-interquartile range(直訳: 半四分位範囲)と呼ばれる。対称的な分布の場合、これとは一致する。

連続確率分布での計算連続確率分布の四分位範囲は、確率密度関数を積分することで得られる。これは累積分布関数を与えるので、その逆関数である分位関数で形式的には四分位数(そして四分位範囲)は表される。より具体的には、確率密度関数をとして

を満たす量として四分位数が定まる。または、分位関数を用いて

によって与えられる。

いくつかの代表的な確率分布における四分位範囲を以下の表に示す。確率分布確率密度関数四分位範囲正規分布ただしは誤差関数の逆関数ラプラス分布コーシー分布

データの正規性の検証四分位範囲、平均、標準偏差を用いることで、データが正規分布のように振る舞っているか否かを簡易的に検証することができる。正規分布では四分位数のZスコアはとなるので、興味のある分布での四分位数の標準得点とこれらを比較することで、データの正規性を大雑把に検証できる。

しかしながら、これは簡易的なテストであり、このテストに合格したというだけでデータが正規分布に従っているとみなすことは危険である。実際、zスコアを与えるがちょうど四分位数に一致するような確率分布は他にも存在する。なお、分位数を元にしたより一般的な判定法としてQ-Qプロットが存在している。

外れ値サムネイル|4つのマイルドな外れ値を持つ箱ひげ図。四分位範囲は、データの外れ値を検出する際によく利用される。この文脈では、外れ値は以下の観測値、または以上の観測値とされる。箱ひげ図においては、これらの外れ値は個別の点として表示される。

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