ベータ負二項分布

ベータ負二項分布（ベータふにこうぶんぷ、）は確率論における離散確率分布、特に複合確率分布の一種。成功確率が実験ごとにベータ分布に従い変化するベルヌーイ過程で、累計回の成功を観測するまでに失敗する回数が従う分布である。

英語では、この確率分布は inverse Markov-Pólya distribution や generalized Waring distributionと呼称されることもある。Beta Negative Binomial の頭文字をとって BNB 分布と略されることもある。この分布のシフトされた形は、 beta-Pascal distribution とも呼ばれる。

定義と確率質量関数確率変数がベータ分布に、のもとでの確率変数が負の二項分布にそれぞれ従う場合に、の同時確率分布からを積分して得られるの周辺分布を、ベータ負二項分布という。

その確率質量関数は、負の二項分布の確率質量関数・ベータ分布の確率密度関数をそれぞれとして

この積分はベータ関数として処理できる:

よって、確率質量関数は次のように書ける:

以上の確率質量関数のもとで、を正の実数へと拡張することができる。その場合、二項係数をガンマ関数で書き直し

または

となる。

ガンマ関数表示ベータ関数の性質を利用して、確率質量関数をガンマ関数だけで書き下すことができる:

を正の実数に拡張する場合は以下の通り:

ポッホハマー表示ポッホハマー記号を使うと、確率質量関数を比較的シンプルに書ける:

性質

階乗モーメントベータ負二項分布の次の階乗モーメントは、の場合に定義可能であり、その値は以下のように計算される:

識別不能性ベータ負二項分布の確率質量関数や特性関数は、とを入れ替えても同じ形となっている。したがって、この分布は識別不可能である。このため、この分布のパラメータ推定を行うには、と、あるいはその両方に制約を設ける必要がある。

他の確率分布との関係またはを与えることで、ベータ分布と幾何分布との複合確率分布であるベータ幾何分布()を再現する。したがって、幾何分布を任意に精度よく近似することができる。また、が大きい場合、負の二項分布も任意に精度よく近似する。さらに、の全てが大きい場合、ポアソン分布を任意に精度よく近似することができる。

裾の重さスターリングの近似により、十分大きいに対して

と振る舞う。このことから、ベータ負二項分布は裾の重い分布であり、モーメントも未満の範囲の次数でのみ存在する。

ベータ幾何分布ベータ幾何分布()はベータ負二項分布の特別な場合であり、またはを与えることで実現する。この場合の確率質量関数は

である。この分布はいくつかので利用されている。

このベータ幾何分布でさらにとした場合、この分布はユール・サイモン分布を実現する。ただし、ユール・サイモン分布は、ベータ幾何分布をシフトさせたものとして定義されることがより一般的である。具体的には、の場合、が成立する。

ポリアの壺モデルベータ負二項分布の3つのパラメータが全て正の整数である場合、この分布は壺モデル、特にポリアの壺モデルと呼ばれるモデルに出現する。

最初に個の赤玉と個の白玉が入っている壺を用意する。「壺から玉を一つ無作為に取り出し、その色を確認した後、取り出した玉と同じ色の玉を2個壺に戻す」という手順を1ステップとする。このように定義すると各ステップが終了するごとに壺に入っている玉の総数は1ずつ増えていく。このステップを繰り返し行い、赤玉が回取り出された時点で試行を終了する。この試行の間に壺から取り出された白玉の個数は、ベータ負二項分布に従う。

ベータ負二項分布の識別不可能性より、上記の試行でとを入れ替えた場合もは、ベータ負二項分布に従う。

ベータ負二項分布

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