ハーバート・フェデラー（、 – ）は、アメリカの数学者である。の創始者の一人である。
経歴 1920年7月23日、オーストリアのヴィーンに生まれた。1938年にアメリカに移住し、カリフォルニア大学バークレー校で数学と物理学を学び、1944年にアンソニー・モースのもとで Ph.D.を取得した。その後、ブラウン大学数学科で名誉教授となるまで教員を務めた。
フェデラーは30以上の研究論文を執筆した。著書 は幾何学的測度論のマイルストーンと評価されている。フェデラーはフレデリック・アルムグレン、を含む9人の博士課程を指導した。
米国科学アカデミーの会員であった。1987年、Normal and Integral currents に関する先駆的な研究 を称えられて同僚のとともにアメリカ数学会のスティール賞を受賞した。
数学 1940, 1950年代、フェデラーは幾何学と測度論の交差する分野で大きな貢献を残した。主な研究対象には曲面の面積、集合の、曲面の古典的解析学において滑らかさを修正可能性でどの程度まで置き換えうるかという問題などがあった。初期の仕事では、の仕事を発展させ、純非修正可能集合をほとんど全ての射影で「消滅する」集合として特徴付けた。また、低正則性におけるグリーンの定理についても功績を残した。ウィリアム・ジーラーとについて研究した。指導教員のモースと共著した最初の論文では、完閉計量空間間の任意の連続な全射は、ボレル集合への制限によって像を変えることなく単射とできることを主張するを証明した。
フェデラーの最も著名な論文に1959年の Curvature Measures がある。研究の目的は微分幾何学における二次解析（とりわけ曲率）の測度論的定式化を確立することであった。ユークリッド空間の凸集合の近傍の体積が多項式で与えられることを述べるシュタイナーの公式はフェデラーの研究の重要な先例であった。凸集合の境界が滑らかな部分多様体であるならば、シュタイナーの公式の述べる多項式の係数は境界の曲率によって決定される。フェデラーはこの結果を一般的に定式化することを試みた。フェデラーの同定した部分集合の類は凸集合の類と滑らかな部分多様体の類を包含した正リーチ () 集合であった。フェデラーはこの類におけるシュタイナーの公式を証明し、その係数である内在的体積の一般化となる曲率測度 () を同定した。同論文において、フェデラーはを証明し、この結果は測度論の教科書で標準的に扱われることとなった。
フェデラーの他の著名な論文にフレミングと共著した Normal and Integral Currents がある。この論文の中でフェデラーらは、極小曲面に関するが一般化された部分多様体とみなすことのできる積分カレントの類の中で解決できることを示した。さらに、等周問題とそのソボレフの埋蔵定理との関連について新たな結果を明らかにした。
1969年、フェデラーは書籍 を出版した。この書は数学において最も多く引用される文献の一つとなった。多重線形代数と測度論の詳細な解説から始まり、主要部分は修正可能性とカレントの研究に充てられている。最後には、変分法への応用が述べられている。フェデラーのこの書籍は当分野の権威ある文献とされており、フェデラーや過去の研究者の結果だけでなく、数多の新たな結果についても記述されている。カレントは整数係数の場合に限って説明されているが、フェデラーはのちに実係数の場合についても基礎理論を発展させた。
フェデラーの著書でとりわけ詳細に語られている結果は、ユークリッド空間で面積を最小化する極小超曲面は低次元において滑らかであるというものである。同時期にエンリコ・ボンビエリ、エンニオ・デ・ジョルジ、が、ジェイムズ・サイモンズの同定した8次元ユークリッド空間の極小が面積最小であることを示した。よって7の特異点集合をもち、ユークリッド空間で面積最小な超曲面が容易に構成できる。1970年、フェデラーはこの余次元が最適であること、すなわち上述したような全ての特異点集合は7以上の余次元を持つことを示した。この証明のために用いられたフェデラーの次元削減の手法は幾何学的測度論やにおいて標準的に使用されるようになった。後に、フェデラーはボンビエリらの結果の新しい証明を発見した。
著作
出典
外部リンク Herbert Federer Brown University