数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、一様非正方形空間（いちようひせいほうけいくうかん、）とは、その単位球内に「大きな2次元正方形」（すなわち、単位球面上にあり互いに和と差のノルムが共に 2 となるような2点）が存在しないという幾何学的性質を満たすノルム空間（バナッハ空間）のことである。
1964年にアメリカの数学者によって導入されたJames, R. C. (1964). Uniformly non-square Banach spaces. *Annals of Mathematics*, 80(3), 542–550.。一様非正方形性は、バナッハ空間の幾何学的凸性・反射性を特徴付ける基本的概念の1つである。
動機 バナッハ空間の幾何学において、空間がどれほど「凸」であるか、あるいはどれほど「角張っているか」を把握することは、空間の位相的・解析的性質を調べる上で非常に重要である。
たとえば、2次元の 空間における単位球は軸に平行な正方形であり、その頂点に位置する2点 と は かつ , を満たす。これは単位球内に「長さ 2 の2つの対角線を持つ正方形」がすっぽり含まれていることを意味する。
ロバート・ジェームズは、このような「大きな正方形」の存在を排除する概念として一様非正方形性を定式化した。そして、この幾何学的条件を満たすバナッハ空間が自動的に超回帰的（super-reflexive）であり、したがって位相的に良好な性質を持つ回帰的バナッハ空間となることを証明した。
定義 ノルム空間 が一様非正方形であるとは、ある定数 が存在して、単位球上の任意の2点 （）に対し、以下の不等式の少なくとも一方が成立することをいう：
同値な表現として、単位球上の任意の2点に対し
を満たす が存在することと言い換えることもできる。
定数による特徴付け 一様非正方形性は、バナッハ空間の幾何学的歪みを数値化する各種の「幾何学的定数」を用いて明快に定量化・特徴付けられる。
ジェームズ定数 : で定義されるジェームズ定数を用いると、 が一様非正方形であるための必要十分条件は：
フォンノイマン・ジョルダン定数 : 中線定理からの離脱度を測るフォンノイマン・ジョルダン定数を用いると、 が一様非正方形であるための必要十分条件は：
高・劉の定数 : 高・劉の定数を用いても同様であり、一様非正方形性であるための必要十分条件は であるGao, J., & Lau, K. S. (1990). On the geometry of spaces. *Journal of Mathematical Analysis and Applications*, 153(1), 255–265.。
主要な性質
超回帰性と双対性 超回帰性（Super-reflexivity）: 一様非正方形なバナッハ空間 は常に超回帰的であり、したがって回帰的バナッハ空間である。 双対性（Duality）: バナッハ空間 が一様非正方形であることと、その連続的双対空間 が一様非正方形であることは同値である。
不動点性質 非線形解析学において、一様非正方形空間は非拡大写像の不動点定理が成り立つための重要な幾何学的枠組みを与える。
他の空間概念との関係 バナッハ空間の凸性に関する各概念の強弱関係は以下の通りである（強 弱）：
一様凸空間 一様非正方形空間 狭義凸空間（同値ではない） ノルム空間
一様凸空間との関係: すべての一様凸空間は一様非正方形空間である。しかし、一様凸でない一様非正方形空間が存在するため、逆は成立しない。 狭義凸空間との関係: 一様非正方形空間は必ずしも狭義凸とは限らず、逆に狭義凸空間であっても一様非正方形（あるいは回帰的）とならない場合がある。
具体例 一様非正方形である空間 すべてのヒルベルト空間（ より）。 空間および 空間（）。
一様非正方形でない空間 空間および 空間（）。 空間および 空間（）。 2点以上を含む位相空間上の連続関数空間 。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 一様凸空間 狭義凸空間 回帰的空間 ジェームズ定数 フォンノイマン・ジョルダン定数 高・劉の定数
参考文献