内包論理（ないほうろんり、）は、一階述語論理を拡張した述語論理へのアプローチである。一階述語論理が個体領域の元（）にわたる量化子のみを持つのに対し、内包論理はそのような個体を値として持ちうる項(内包)にわたる追加の量化子によってこれを拡張する。内包的な実体と外延的な実体の区別は、意義と意味の区別と並行するものである。
概要 論理学とは、（その基礎にある心理学的あるいは生物学的過程を捨象したうえで）言語のうちに現れる証明と演繹の研究である。論理学は閉じた完成された科学ではなく、おそらく今後も発展をやめることはない。論理分析は言語のさまざまな深さにまで踏み込むことができ、文を原子的なものとみなす場合もあれば、それを個々の項に適用される述語へと分解する場合もあり、さらには様相的、時相的、的、認識論的といった、より精緻な論理構造を明らかにする場合もある。
その特有の目標を達成するために、論理学は基礎にある自然言語をそのまま利用することから切り離された、独自の文法をはじめとする独自の形式的道具を発展させることを余儀なくされた。機能語（function word とも呼ばれる）は、（「文」や「個体名」といった基礎的なカテゴリーとともに）論理文法における最も重要なカテゴリーの一つに数えられる。関数子は、埋めるべき項位置を持つ「不完全な」表現とみなすことができる。それらを適切な部分表現で埋めれば、結果として得られる完全に完成した表現は結果、すなわち出力とみなすことができる。したがって関数子は関数記号のように働き、入力表現を受け取って新たな出力表現を生成する。
意味論は言語の表現を外界へと結びつける。論理意味論もまた独自の構造を発展させてきた。意味値は基礎的なカテゴリーの表現に付与することができる。個体名の指示（それが名指す「指示対象」）はその外延と呼ばれ、文についてはその真理値がその外延である。
関数子については、単純に外延を付与できるものもあれば、そうでないものもある。いわゆる「外延的」な関数子の場合、その入力と出力の「実質的な」部分から一種の抽象化を行い、その関数子を入力の外延を直接出力の外延へと変換する関数とみなすことができる。もちろん、これがそもそも可能であることが前提とされている。すなわち、入力表現の外延が結果として得られる表現の外延を決定するということである。この前提が成り立たない関数子は「内包的」と呼ばれる。
自然言語は内包的な関数子に満ちている。これは内包的な言明によって例証できる。外延論理はこのような言語の精緻な論理構造の内部にまでは踏み込めず、より粗いレベルにとどまる。このような深い論理分析の試みには長い歴史があり、アリストテレスほど早い時代の著述家がすでに様相三段論法を研究していた。ゴットロープ・フレーゲは一種の二次元意味論を発展させた。内包的言明のような問題を解決するために、フレーゲは2つの意味値の区別を導入した。すなわち、文（および個体項）は外延と内包の両方を持つ、という区別である。これらの意味値は解釈可能であり、関数子に対しても（内包的関数子を除いて、内包のみを持つ）転用することができる。
すでに述べたように、今日の内包論理に属する問題を解決しようとする動機には長い歴史がある。形式化の試みについては、対応する形式意味論が見出されるよりも先に計算体系の発展が先行することが多かった。この点では内包論理も例外ではない。ゴットロープ・フレーゲもまた、自身の（外延的な）計算体系に意味論的な動機についての詳細な説明を添えたが、その意味論の形式的な基礎が現れたのは20世紀になってからであった。このように、内包論理の発展の歴史には、かつての外延論理の発展の歴史と似た型が繰り返されることがあった。
日常言語を完全に分析することを標榜する内包論理の体系には、次のようなものがある。 透明内包論理 様相論理
様相論理
様相論理は内包論理の研究における歴史上最も早い分野であり、もともとは「必然性」と「可能性」を形式化することを動機としていた（この本来の動機は、現在では様相論理の多くの分岐の一つにすぎない真理論理に属するものとされている）。
様相論理は、こうした研究のもっとも単純な現れとみなすこともできる。すなわち、それは外延論理をわずかな文的関数子で拡張したものである。これらは内包的であり、（意味論のメタ規則において）可能世界にわたる量化として解釈される。例えば、必然性演算子（「箱」）を文Aに適用すると、「文『(箱)A』は、世界iから到達可能なすべての世界において真である場合、かつその場合に限り、世界iにおいて真である」となる。これに対応する可能性演算子（「ダイヤモンド」）をAに適用すると、「(ダイヤモンド)A」は、世界iから到達可能ないずれかの（少なくとも1つの）世界においてAが真である場合、かつその場合に限り、世界iにおいて真であることを主張する。したがって、これらの主張の正確な意味論的内容は、到達可能性関係の性質に決定的に依存する。例えば、世界iはそれ自身から到達可能だろうか。この問いへの答えが、体系の正確な性質を特徴づける。多くの体系が存在し、様相的・時相的な問いに答えるものもある（時相体系では、到達可能性関係は状態や「瞬間」を関係づけ、ある時点から到達可能なのは未来のみである。この論理において、必然性演算子は「すべての未来の瞬間について」に対応する）。これらの演算子は、存在量化子と全称量化子を関係づけるものと類似の双対性によって互いに関係づけられている（例えば、ド・モルガンの法則の類似物によって）。すなわち、あることが必然的であるのは、その否定が不可能である、つまり矛盾している場合、かつその場合に限る。統語論的には、これらの演算子は量化子ではなく、変数を束縛することはないが、文全体を支配する。これは指示不透明性の問題、すなわち様相文脈にわたって、あるいは様相文脈の「内部」にわたって量化するという問題を引き起こす。これらの演算子は文法上、文的関数子として現れ、様相演算子と呼ばれる。
すでに述べたように、様相論理の先駆者にはアリストテレスが含まれる。その発展には中世の学術的議論が伴っており、例えば「デ・レ」対「デ・ディクト」の様相についての議論がそれである。最近の用語で言えば、「デ・レ」様相においては、様相関数子が開放文に適用され、その変数はその量化子の作用域が様相下位項全体を含むような量化子によって束縛される。
近代の様相論理はC・I・ルイスに始まる。その研究は厳密含意の概念を確立することを動機としていた。可能世界アプローチによって、意味論的な問いをより厳密に研究することが可能になった。厳密な形式化は、ソール・クリプキ、ヤーッコ・ヒンティッカ、スティグ・カンガーによって発展させられたクリプキ意味論という結実をもたらした。
型理論的内包論理
すでに1951年に、アロンゾ・チャーチは内包的なを発展させていた。その意味論的な動機は表現力豊かに説明されたが、もちろん、当時はまだ発明されていなかったため、現在われわれが様相論理の意味論を形式的に確立するために用いている道具は用いられていない。チャーチは形式的な意味論の定義を与えなかった。
その後、可能世界アプローチによる意味論は、内包意味論の包括的な研究のための道具を提供した。リチャード・モンタギューは、自身の体系においてチャーチの内包計算体系の最も重要な利点を保持することができた。その先行研究とは異なり、モンタギュー文法は純粋に意味論的な方法で構築された。チャーチの研究以降に発明された新しい形式的道具のおかげで、より単純な扱いが可能になったのである。
脚注
参考文献 (2004). First-order intensional logic. 127:171–193. この論文で用いられているのは2003年のプレプリントである。 メルヴィン・フィッティング (2007). Intensional Logic. In the スタンフォード哲学百科事典. . 表題の訳:「古典論理・様相論理・内包論理」。 . 原題:「The Development of Logic」。付録の表題（ハンガリー語版にのみ存在する、ルジャによる付録）の訳:「この20年間」。 . 表題の訳:「論理学の統語論と意味論」。 . 表題の訳:「現代論理学入門」。
関連項目 外延性 フレーゲ=チャーチ存在論 クリプキ意味論 温度のパラドックス 関連性
外部リンク