必要条件と十分条件

必要条件と十分条件は、論理学と数学において二つの命題のあいだの条件関係ないし含意関係を表すのに用いられる概念である。。例えば、条件文「もしならば」において、はにとって必要（necessary）である。なぜなら、の真理値が真であることはの真によって「必然的に」保証されるからである（同じことだが、を欠いたは存在不可能であり、あるいはの偽はの偽を保証する）。同様に、はにとって十分（sufficient）である。が真であることは常に、すなわち「十分に」の真を含意するが、が真でないことがが真でないことを常に意味するわけではない。

一般に、必要条件とは、別のある条件が生起するために存在していなければならない条件（複数ありうるうちの一つ）であり、一方、十分条件とは当該の条件をもたらす条件である。ある命題が別の命題の「必要かつ十分」な条件であるという主張は、前者が真であるのは後者が真であるときかつそのときに限る、すなわち二つの命題は同時に真であるか同時に偽であるかのいずれかでなければならない、ということを意味する。

自然言語である日常言語では、「必要」「十分」という語は、命題どうしではなく条件や事態どうしの関係を示すことが多い。例えば、「丸いこと」は「円であること」の必要条件ではあるが、楕円なども丸くて円ではないため十分条件ではなく、逆に「円であること」は「丸いこと」の十分条件である。どんな条件文も少なくとも一つの十分条件と少なくとも一つの必要条件とからなる。

解析（データ分析）においては、必要性と充足性は異なる因果論理を指すことがあり、関心のある特定の結果に対する条件の必要性・充足性を調べる分析手法として、必要条件分析や定性的比較分析が用いられる。

定義条件文「もし S ならば N」において、S が表す表現は前件と呼ばれ、N が表す表現は後件と呼ばれる。この条件文は、「S ならば N である（N if S）」「N のときに限り S である（S only if N）」「S は N を含意する（S implies N）」「S によって N が含意される（N is implied by S）」、、、「S のときには常に N である（N whenever S）」など、いくつかの同値な形で書くことができる。

「S のときには常に N である」という上記の状況において、N は S の必要条件（necessary condition）であると言われる。日常的な言葉では、これは次のことと同じである。すなわち、その条件文が真なる命題であれば、後件 N は真でなければならない——S が真であるためには（直下の真理値表の第三列を参照）。言い換えれば、前件 S が真でありうるのは N が真である場合に限られる。例えば、ある人がソクラテスと呼ばれるためには、その人が名前を持つことが必要である。同様に、人間が生きるためには空気が必要である。

また、S は N の十分条件（sufficient condition）であると言うこともできる（やはり直下の真理値表の第三列を参照）。条件文が真であれば、S が真ならば N は真でなければならない。一方、条件文が真で N が真である場合、S は真かもしれないし偽かもしれない。日常語で言えば「S の真理は N の真理を保証する」ということである。例えば、先ほどの例の続きで、ある人がソクラテスと呼ばれていると知ることは、その人が名前を持っていると知るのに十分である。

必要十分条件（necessary and sufficient condition）は、含意と（後者はとも書ける）の双方が成り立つことを要求する。第一の含意は S が N の十分条件であることを、第二の含意は S が N の必要条件であることを示唆する。これは「S は N にとって必要かつ十分である」、「S は N のときに限り N である（S if and only if N）」、あるいはとして表現される。

+ 真理値表 T T T T T T F F T F F T T F F F F T T T

必要条件

「Q は P にとって必要である」という主張は、口語的には「Q が真でなければ P は真でありえない」あるいは「もし Q が偽ならば P は偽である」に相当する。対偶により、これは「P が真であるときには常に Q も真である」と同じことである。

P と Q の論理的関係は「もし P ならば Q」と表現され、「P ⇒ Q」（P は Q を含意する）と記号化される。「P のときに限り Q」「P ならば Q」「P のときには常に Q」「P のときには Q」などの変形でも表現しうる。数学的な文章などでは、複数の必要条件が合わさって一つの十分条件を構成する（すなわち個々には必要で、全体としては十分）という状況がしばしば見られる。例5に示すとおりである。

例1 「ジョンは未婚の男性（bachelor）である」が真であるためには、次のことも真であることが必要である。未婚であること、男性であること、成人していること。なぜなら「ジョンは未婚の男性である」という言明は、ジョンがこの三つの追加的な述語をすべて持つことを含意するからである。

例2 2 より大きい整数については、奇数であることが素数であるために必要である。2 だけが偶数かつ素数である整数だからである。

例3 雷鳴、すなわち稲妻によって引き起こされる音を考えてみよう。稲妻なしに雷鳴が生じることはないので、雷鳴は稲妻にとって必要であると言われる。稲妻があるときには常に雷鳴がある。雷鳴は稲妻を引き起こさない（稲妻が雷鳴を引き起こす）が、稲妻は常に雷鳴を伴うので、雷鳴は稲妻にとって必要であると言うのである（つまり形式的な意味では、必要性は因果性を含意しない）。

例4 少なくとも30歳であることは、アメリカ合衆国上院議員を務めるために必要である。30歳未満ならば、上院議員になることは不可能である。つまり、上院議員であれば、少なくとも30歳でなければならない。

例5 代数学において、ある集合 S と二項演算が群をなすためには、が結合法則を満たすことが必要である。また、S が特殊な元 e を含み、S のすべての x について e x と x e がともに x に等しいことが必要である。さらに、S のすべての x に対して、x x″ と x″ x がともに特殊な元 e に等しいような対応する元 x″ が存在することも必要である。これら三つの必要条件のどれひとつ単独では十分ではないが、三つの連言は十分である。

十分条件

P が Q にとって十分であれば、P が真であることを知ることは Q が真であると結論づけるのに十分な根拠となる。しかし、P が偽であることを知っても、Q が偽であると結論づける最低限の根拠とはならない。

論理的関係は、前と同じく「もし P ならば Q」または「P ⇒ Q」と表現される。「P のときに限り Q」「P は Q を含意する」などの変形でもよい。いくつかの十分条件が合わさって一つの必要条件を構成することがありうる（すなわち個々には十分で、全体としては必要）。これも例5で示される。

例1 「ジョンは王である」はジョンが男性であることを含意する。したがって、ジョンが王であることを知ることは、彼が男性であることを知るのに十分である。

例2 数が 4 で割り切れることはその数が偶数であるために十分である（しかし必要ではない）。一方、2 で割り切れることは偶数であるために十分かつ必要である。

例3 雷鳴の発生は稲妻の発生にとって十分条件である。雷鳴を聞き、それを紛れもなく雷鳴と認識すれば、稲妻が放電したと結論づける根拠になるからである。

例4 アメリカ合衆国議会で法案が可決された場合、大統領の署名はそれを法律とするのに十分である。なお、大統領が署名しなかった場合、例えば大統領の拒否権を行使した場合でも、法案が法律になっていないことにはならない（議会の再議決（override）によって法律になった可能性もある）。

例5 あるトランプの札がスペードのエースであることは、その札がエースであるための十分条件である。他の三つの十分条件は、それぞれダイヤのエース、ハートのエース、クラブのエースであることである。これらの条件のどれも札がエースであるために必要ではないが、それらの選言は必要である。少なくとも（実際にはちょうど）一つの条件を満たさずにエースである札は存在しないからである。

必要性と充足性の関係

一つの条件は、もう片方を満たさずに必要条件のみ、または十分条件のみでありうる。例えば、「哺乳類であること」（N）は「人間であること」（S）にとって必要だが十分ではなく、数が「有理数であること」（S）はが「実数であること」（N）（有理数でない実数も存在するため）にとって十分だが必要ではない。

一つの条件が必要かつ十分でありうる。例えば現時点では、「今日は7月4日である」ことは「今日はアメリカ合衆国の独立記念日である」ことの必要十分条件である。同様に、行列 M が可逆であるための必要十分条件は、M の行列式が非ゼロであることである。

数学的に言えば、必要性と充足性は互いに双対である。任意の命題 S と N について、「N は S にとって必要である」という主張は「S は N にとって十分である」という主張と同値である。この双対性のもう一つの側面は、上述のように、必要条件たちの連言（「かつ」を用いる）が充分性を達成しうるのに対し、十分条件たちの選言（「または」を用いる）が必要性を達成しうるということである。第三の側面として、すべての数学的述語 N に、N が真である対象・事象・命題の集合 T(N) を対応させると、「N は S にとって必要である」と主張することは T(N) が T(S) の上位集合であると主張することに、「S は N にとって十分である」と主張することは T(S) が T(N) の部分集合であると主張することに、それぞれ等しい。

心理学的に見れば、必要性と充足性はいずれも概念の古典的理論の重要な側面である。概念の古典理論のもとでは、人間の心がカテゴリー X を表象する仕方は、X を定義する個別に必要な諸条件の集合をもたらす。これらの個別に必要な条件を合わせると、X であるために十分となる。これは、定義的特徴は必要でも十分でもなく、カテゴリーは家族関係図のような構造に似ているとする確率的概念理論とは対照的である。

同時の必要性と充足性

「P は Q にとって必要かつ十分である」とは、次の二つのことを言うことである。 P が Q にとって必要である（）、かつ P が Q にとって十分である（）こと。同値な理解として、P と Q が互いに相手にとって必要である、と言うこともでき、これは各々が互いに「十分である」すなわち互いを「含意する」とも表現できる。

これらいずれの場合も、ひいてはすべての場合を「P が真であるのは Q が真であるとき、かつそのときに限る」という文（"if and only if"）で要約できる。これはと書かれ、この式はがと同一であることを物語っている。

例えばグラフ理論において、グラフ G は、その各頂点に黒か白かの色を割り当てて G の全ての辺が両端で異なる色を持つようにできるとき、2部グラフと呼ばれる。そして、グラフが2部グラフであるための必要十分条件は、奇数長の閉路を含まないことである。したがって、グラフが奇閉路を持つかどうかを見つけることは、それが2部グラフかどうかを教えてくれ、その逆もまた然りである。哲学者Stanford University primer, 2006.ならばこの事態を次のように特徴づけるだろう。「2部グラフ性と奇閉路の不在という概念は内包においては異なるが、同一の外延を持つ」"Meanings, in this sense, are often called intensions, and things designated, extensions. Contexts in which extension is all that matters are, naturally, called extensional, while contexts in which extension is not enough are intensional. Mathematics is typically extensional throughout." Stanford University primer, 2006.

数学において、定理はしばしば「P が真であるのは Q が真であるときかつそのときに限る」という形で述べられる。

前節で説明したように、一方の他方に対する必要性は他方の前者に対する充足性と等価である。例えばはと論理的同値である。したがって、P が Q にとって必要かつ十分であれば、Q も P にとって必要かつ十分である。と書き、「P が真であるのは Q が真であるときかつそのときに限る」という命題と「Q が真であるのは P が真であるときかつそのときに限る」という命題が同値であると言える。

必要条件と十分条件

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