サムネイル|Atle Selberg 数論において、セルバーグの篩 (セルバーグのふるい、) は、合同関係によって表される一連の条件を満たす自然数の「篩にかけられた集合」の大きさを評価するための手法である。この手法は1940年代にアトル・セルバーグによって開発された。
概要 セルバーグの篩は、包除原理を基礎としたものであることから、篩法では組合せ型（combinatorial type）に分類される。セルバーグは、ここで現れるメビウス関数の値を、与えられた問題に適合するよう最適化された重みの体系に置き換えた。この結果、「篩にかけられた集合」の大きさに対する上界が得られる。
を 以下の正の整数の集合とし、 を素数の集合とする。 が に属する相異なる素数の積であるとき、 を で割り切れる の元の集合とする。また、 とする。 を正の実数とし、 を に属する 以下の素数の積とする。篩の目的は、以下で定義される を評価することである。
|Ad| は次のように評価できるものと仮定する。
ここで、f は乗法的関数、X = |A| とする。関数 g を、メビウスの反転公式によって f を反転させたものとする。すなわち、
ここで μ はメビウス関数。
また、関数 V を以下のようにおくと、
次のようになる。
ここで は と の最小公倍数を表す。 を次の評価式によって評価することが有用な場合が多い。
応用
算術級数における素数の個数についてのブルン＝ティッチマーシュの定理. n ≤ x を満たし、かつ n がオイラーのトーシェント関数 φ(n) と互いに素であるような n の個数は e−γ x / log log log (x) に漸近する.
参考文献