ボットの周期性定理（ボットのしゅうきせいていり、Bott periodicity theorem）は、ラウル・ボット（1957、1959）によって発見されたのホモトピー群における周期性を記述する定理である。この定理は、その後の多くの研究、特に安定複素ベクトル束のK理論や球面の安定ホモトピー群の研究において、基礎的な重要性を持つことが明らかになった。ボットの周期性は様々な方法で定式化できるが、ユニタリ群に関連する理論においては、次元に関して常に周期2の現象として現れる。
実直交群および四元数のシンプレクティック群にそれぞれ関連する理論である（実）KO理論や（四元数）KSp理論についても、これに対応する周期8の現象が存在する。J準同型は直交群のホモトピー群から球面の安定ホモトピー群への準同型であり、この写像によって周期8のボット周期性が球面の安定ホモトピー群において現れることになる。
結果の記述 ボットは、 をユニタリ群 のとして定義すると、そのホモトピー群は周期 2 で周期的になることを示した。すなわち、 に対して
が成り立ち、最初の2つのホモトピー群は次のようになる。
ボットの周期性定理の「実」版（あるいは「直交」版）では、直交群 の直極限に関し、 に対して
であり、最初の8つのホモトピー群は以下で与えらえれる：
背景と意義 ボットの周期性が位置する文脈は、ホモロジー論との類推から代数トポロジーにおいて基本的な役割を果たすと期待されていた、球面のホモトピー群が、実際には捉えどころがなく、かつ理論も複雑で扱いにくいものであったという点にある。安定ホモトピー理論という分野は、懸垂（円とのスマッシュ積）という操作を導入し、等式の両辺を何度でも懸垂できるとした場合にホモトピー論の（大まかに言えば）どのような性質が残るかを調べることで、理論を単純化しようとする試みとして構想された。しかし、実際にはこの安定理論においても計算は依然として困難であった。
ボットの周期性がもたらしたのは、ある極めて非自明な空間群に関する洞察であった。これらの空間は、そのコホモロジーが特性類と関連していることから、トポロジーにおいて中心的な地位を占めており、すべての（非安定）ホモトピー群を計算することが可能であった。それらの空間とは、（無限次、すなわち安定な）ユニタリ群 、直交群 、およびシンプレクティック群 Sp である。ここで安定とは、包含写像の列
の和集合（直極限とも呼ばれる）をとることを指す。 や Sp についても同様。なお、ボットが自身の論文のタイトルで用いた安定という言葉は、これらの安定な古典群を指すものであり、安定ホモトピー群を指すものではないことに注意が必要である。
ボットの周期性と球面の安定ホモトピー群 との重要な関連は、いわゆる安定を介して生じる。これは、（安定な）古典群の（不安定）ホモトピー群から、球面の安定ホモトピー群 への写像である。これは元々によって記述されたものであり、後に有名なアダムスの予想（1963）の対象となった。この予想は、最終的にダニエル・キレン（1971）によって肯定的に解決された。
ボットの当初の成果は、次のような系として簡潔にまとめることができる。
系：（無限）古典群の（不安定）ホモトピー群は周期性を持つ。
注：上記の第2式および第3式の同型を組み合わせることで、8周期性の結果が得られる。
ループ空間と分類空間 無限ユニタリ群 に関連する理論において、空間 は安定複素ベクトル束の分類空間（無限次元）である。ボットの周期性定理の一つの定式化は、 の2重ループ空間 に関するものである。ここで は関手であり、懸垂関手の右随伴かつ分類空間構成の左随伴にあたる。ボットの周期性定理は、この2重ループ空間が本質的に再び になることを主張する。より正確には、
であり、これは本質的に（すなわちホモトピー同値の意味で） の可算個のコピーの和集合となる。これと同値な定式化は、
である。 これらのいずれからも、（複素）位相的理論が2を周期とする理論である理由が直ちに示される。
無限直交群 に対応する理論では、空間 が安定実ベクトル束の分類空間となる。この場合、ボットの周期性定理は、8重ループ空間について
あるいは同値な表現として
であることを主張する。 このことから、理論が8を周期とする理論であるという帰結が導かれる。また、無限シンプレクティック群 Sp についても、空間 BSp は安定四元数ベクトル束の分類空間であり、ボットの周期性定理は
あるいは同値な表現として
であることを主張する。
したがって、位相的実理論（理論とも呼ばれる）と位相的四元数理論（KSp理論とも呼ばれる）は、いずれも8周期性を持つ理論である。
ループ空間の幾何学的モデル ボットの周期性のエレガントな定式化の一つは、古典群の間に（閉部分群としての）自然な埋め込みが存在するという事実を利用するものである。このとき、ボットの周期性に現れるループ空間は、連続する商空間からなるに、離散的な Z の因子を加えたものとホモトピー同値になる。
複素数の場合：
実数および四元数の場合：
これらの列はクリフォード代数における列に対応する（を参照）。複素数の場合、
実数および四元数上では：
ここで各除算代数は、その代数上の行列を指す。
これらは2周期性および8周期性を持つため円状に配置することができ、その配置はボット周期性クロックやクリフォード代数クロックと呼ばれる。
ボットの周期性の結果は、次のようなホモトピー同値の列へと精緻化される：
複素理論の場合：
実および四元数理論・KSp理論の場合：
これらによって得られる空間は、古典的な簡約とホモトピー同値であり、ボット周期性クロックの各項の逐次的な商となっている。これらの同値性から、直ちにボット周期性定理が導かれる。
具体的な空間は以下の通りである解釈と名称に若干の誤りがある。そこでは「既約」対称空間が言及されているが、実際にはより一般的な「簡約」空間が対象となっている。例えば、 は既約だが、 は簡約である。これらが示すように、その違いは「向き」を含めるか否かという点として解釈できる。（群については、主等質空間も併記する）。
ループ空間 商空間 カルタンの記号 説明 BDI 実 直交群（実） DIII 与えられた直交構造と両立する複素構造の空間 AII 与えられた複素構造と両立する四元数構造の空間 CII 四元数グラスマン多様体 シンプレクティック群（四元数シュティーフェル多様体） CI 複素 AI ラグランジュ・グラスマン多様体
証明 ボットによる最初の証明ではモース理論が用いられたが、この理論はボット自身がそれ以前にリー群のホモロジーを研究する際に用いたものであった。その後、これまでに数多くの異なる証明が与えられている。
注釈
出典
. An expository account of the theorem and the mathematics surrounding it.