数学的プラトニズム（すうがくてきプラトニズム、）とは、数学的実体が抽象的であり、時空的または因果的性質をもたず、永遠不変であると主張する実在論の一形態である。これは多くの人が数について抱いている見解であるとも言われる。

概要

「プラトン主義」という語が用いられるのは、この見解がプラトンのイデア論および「イデアの世界」（ギリシア語 、eîdos から）と並行していると見なされるからである。これは彼の洞窟の比喩で最も有名に描かれている。感覚によって知覚される日常の世界は、知性のみによってアクセスできる別の——不変で究極の——実在を不完全にしか近似しない。プラトンの洞窟とプラトン主義は表面的なものではなく、意味のある結びつきをもっている。それは、プラトンの思想が古代ギリシアで広く信奉されていたピタゴラス派の思想に先行され、おそらく影響を受けたからであり、彼らは世界がまさに文字通り数によって生み出されたと信じていた。

数学的プラトニズムにおいて重要な問いとして考えられているのは次のことである。数学的実体はどこにどのように存在するのか、そして私たちはどのようにしてそれらを知ることができるのか。もし数学的実体が心から独立して存在する——すなわち単なる人間の発明ではない——とすれば、何らかの意味でそれらが別の非物理的な領域を占めると言えるのだろうか。そうだとすれば、私たちはどのようにしてその世界にアクセスし、そこに存在する実体についての真理を発見できるのだろうか。

提案された一つの答えは究極のアンサンブルであり、数学的に存在するすべての構造は物理的にも、それぞれ固有の宇宙において存在するという理論である。

見解

クルト・ゲーデルのプラトン主義は、数学的対象を直接知覚できる特別な数学的直観を仮定する。（この見解はエトムント・フッサールが数学について述べた多くのことと類似しており、数学は総合的ア・プリオリであるというイマヌエル・カントの考えを支持する。）フィリップ・J・デイヴィスとルーベン・ハーシュは1999年の著書『』において、ほとんどの数学者はプラトン主義者であるかのように行動するが、もし立場を慎重に擁護するよう迫られると形式主義に後退することがあると示唆している。

純血のプラトニズム

純血のプラトニズム（full-blooded Platonism）（密接に関連し、時には同義で用いられる plenitudinous Platonism を含む）は、プラトン主義の現代的な変形であり、採用される公理と推論規則に応じて異なる数学的実体の集合の存在が証明されうる（例えば、排中律と選択公理）という事実への反応として展開された。この見解は、何らかの無矛盾な枠組みがそれらを許容する限り、すべての数学的実体は存在するとしており、それらが任意の単一の無矛盾な公理系から導出可能である必要はない。なぜなら、そのような公理系がいずれも代替案に対して形而上学的に特権的ではないからである。これはポール・ベナセラフのジレンマに対する準備された答えを提供するという利点をもつ——任意の無矛盾な数学理論が実際に存在する実体を取り出すことが保証されているなら、その知識を得ることは問題を提起しない——ものの、この見解は全く新しい困難（数学的用語が確定的な指示を欠くように見える「一意性の問題」）を導入するとして批判を受けている（後述の「プラトン化された自然主義」を参照）。

集合論的実在論

集合論的実在論（集合論的プラトン主義とも） (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, Routledge, 2002, p. 681.はペネロペ・マッディが擁護する立場であり、集合論は集合の単一の宇宙についての理論であるという見解である。この立場（数学的プラトニズムの自然化された版であることから自然化されたプラトン主義とも知られる）は、ポール・ベナセラフの認識論的問題を根拠として Mark Balaguer によって批判されている。

プラトン化された自然主義

これに類似した見解であるプラトン化された自然主義（Platonized naturalism）は、後にスタンフォード＝エドモントン学派によって擁護された。この見解によれば、より伝統的な種類のプラトン主義は自然主義 (哲学)と整合的であり、彼らが擁護するより伝統的な種類のプラトン主義はの存在を主張する一般原理によって区別される。この数学的プラトニズムの定式化は——エドワード・ザルタなどの支持者が論じるように——純血のプラトニズムとほぼ同様にベナセラフのジレンマに対して証明力をもちながら、後者が脆弱とされる「一意性の問題」から逃れることができる。

関連項目 数学的対象 § プラトン主義 プラトニズム クワイン＝パトナムの不可欠性論証

参考文献