アルキメデスの螺旋

アルキメデスの螺旋（）は、紀元前3世紀のギリシアの数学者アルキメデスにちなんで名付けられた螺旋曲線である。「アルキメデスの螺旋」という語は、ときにこの種の螺旋の一般的なクラスを指す場合もあるが、特にアルキメデス自身が記述した算術的螺旋を指すこともある。

この螺旋は、一定の角速度で回転する直線に沿って、定速で固定点から遠ざかる点の軌跡として定義される。極座標においては、実数を用いて，次の式で表される：

ここで、定数の値を変えることにより、隣接する巻きの間隔が決定される。したがって、この方程式から「出発点からの動点の位置は、時間経過に伴って角度に比例する」と述べることができる。

アルキメデスはこの螺旋について著書『螺旋について (On Spirals)』に記している。また、サモスのコノンは彼の友人であり、パップスによれば、この螺旋はコノンによって発見されたと伝えられている。

螺旋の一般式の導出

以下では、アルキメデスの螺旋の概念を理解するために物理的アプローチを用いる。

ある点物体が、デカルト座標系において軸に平行に一定の速度で移動すると仮定する。時刻において、この物体は任意の点にあるとする。もし平面が、軸のまわりに一定の角速度で回転するならば、物体の軸に対する速度は次のように表される：

図に示すように、が任意の時刻における粒子の位置ベクトルの大きさを表す。ここで , はそれぞれ , 軸方向の速度成分である。これらを部分積分により積分すると、次のような媒介変数表示が得られる：両式を二乗して加えると、次の直交座標式が得られる：（ここでおよびを用いた）。あるいはその極座標形はとなる。

弧長と曲率

デカルト座標での媒介変数表示は次の通り：からまでの弧長はあるいは同値的にしたがってからまでの全長はである。

曲率は次の式で与えられる：

特徴

アルキメデスの螺旋は、原点から任意の半直線を引くと、螺旋の各回転との交点が一定間隔で現れるという性質を持つ（角度をラジアンで測ると、その間隔はに等しい）。このことから「算術螺旋」とも呼ばれる。

これに対し対数螺旋では、交点間の距離や原点からの距離が等比数列をなす。

アルキメデスの螺旋には 2 本の腕があり、の部分との部分がそれぞれ対応し、両者は原点で滑らかにつながっている。図には一方の腕のみが描かれているが、これを軸に対して鏡映するともう一方の腕が得られる。

大きなに対しては、点はアルキメデスの螺旋に沿ってほぼ等加速度運動を行う。この螺旋は「固定点から定速で遠ざかり、結ぶ直線が一定の角速度で回転する点の軌跡」として理解できる。

アルキメデスの螺旋が成長すると、その伸開線（エボリュート）は漸近的に半径の円に近づく。

一般化されたアルキメデスの螺旋しばしば「アルキメデスの螺旋」という語は、より一般的な次の形を持つ螺旋を指す：ここで、通常のアルキメデスの螺旋はの場合である。その他、この群に含まれる螺旋として、双曲線螺旋（）、フェルマーの螺旋（）、リトゥース曲線（）などがある。

応用アルキメデスは、螺旋を利用して円の求積を行う方法を示した。また、この螺旋を用いて角の三等分を行う方法も示している。いずれも、古代ギリシア幾何学での定規とコンパスに基づく厳密な制約を緩めたものである。

アルキメデスの螺旋は多くの実用的応用を持つ。スクロール圧縮機のローターは、2 本のアルキメデス螺旋を組み合わせた形状を基に設計される。渦巻アンテナは広帯域動作を可能にし、その形状はアルキメデスの螺旋に基づく。時計のテンプに用いられるぜんまいばねや、初期のレコード盤の溝は、等間隔を保つアルキメデスの螺旋に基づいている。神経疾患の診断の一環として、患者にアルキメデスの螺旋を描かせる方法があり、手の震えの定量化に用いられる。 DLPでは「虹効果」を軽減するために利用される。食品微生物学では、螺旋平板法（spiral plate method）により細菌濃度の測定が行われる。ペガスス座LL星のまわりに見られる塵雲は、おおよそアルキメデスの螺旋を成していると考えられている。

作図法算術螺旋は、半径を角度に応じて連続的に増加させる必要があるため、伝統的な定規とコンパスの作図では正確には構成できない。しかし近似的に構成する方法はいくつか存在する。大円を 12 分割し、半径も等分したのち、同心円と放射線の交点を順に結んで近似螺旋を描く方法。糸コンパスを改良し、糸が巻き付く中心針を固定して角度とともに半径が増減するようにする方法。ねじ軸とアームを組み合わせた機械的装置を用いて、正確に半径を変化させながら描く方法。これはアルキメディアン・スクリューを想起させる。

これらの方法により、アルキメデスの螺旋は高精度で近似的に作図できる。

脚注

アルキメデスの螺旋

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