デデキント環

デデキント環（デデキントかん、Dedekind ring）、あるいはデデキント整域（デデキントせいいき、Dedekind domain）とは、任意の0でない真のイデアルが、有限個の素イデアルの積にかけるような整域のことである。そのような分解は一意であることが知られており、イデアル論の基礎定理と呼ばれる。

定義 体でない整域 R について、以下の条件は同値である。 Rの任意の0でない真のイデアルは、有限個の素イデアルの積にかける。 R はネーター環で、クルル次元が1で、正規である。 R の任意の0でない分数イデアルは可逆である。 R はネーター環で、任意の極大イデアルにおける局所化は離散付値環（DVR）である。 デデキント環とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。

例 単項イデアル整域はデデキント環である。 K を有理数体 Q の有限次拡大体とすると、K の整数環 OK （K における Z の整閉包）はデデキント環である。

加群の構造 デデキント環 R 上の有限生成加群 M の構造は次の様になる。有限生成加群 M に対して、ある零でない整イデアルの列 I1 ⊆ … ⊆ In と階数有限の自由加群 F、可逆イデアル I が存在して同型

が成り立つ。また、このイデアル I, I1, …, In と自由加群 F は有限生成加群 M により同型を除いて一意に定まる。

脚注

参考文献

関連項目 リヒャルト・デーデキント 主イデアル整域（PID） 一意分解環（UFD） 遺伝環