階乗素数

階乗素数（かいじょうそすう、）とは、階乗との差がである素数のことである。つまり、（は自然数）と表される素数のことである。

階乗素数は少ないことと、自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。は以上の自然数で割りきれるから、連続する個の合成数である。例えば、素数の次の素数はであり、これらの間の89個の自然数はすべて合成数である。しかし、2つの素数の間の長いギャップはこの方法により得られるものがすべてではない。例えば、素数との間には95個の合成数が並んでいる。

2022年1月現在49個の階乗素数が知られており、その中で最大のものはである。十進法表示したときの桁数は1,449,771桁にも及ぶ。

型の階乗素数が素数となる以上の整数は、小さい順に次のようになる。（）このときの実際の素数はを参照。であるが、以降、急に大きくなる。

その他が共に素数となる自然数はのみが知られているだけで、他にそのような自然数は未だに発見されていない。もしくはの素数も合成数も無数に存在するかはわかっていない。に関してはウィルソンの定理より合成数が無数に存在することが素数の無限性より容易に示せる。

参考文献リチャード・ガイ著 Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed., Springer, 2004 ISBN 978-0387208602 （初版の訳）一松信訳『数論における未解決問題集』シュプリンガー・フェアラーク・東京、1994年 ISBN 978-4431705840 （第三版の訳）金光滋訳『数論「未解決問題」の事典』朝倉書店、2010年 ISBN 978-4254111293

関連項目階乗素数素数階乗素数階乗素数

外部リンク

The Prime Pages, The Prime Glossary: factorial prime The Top Twenty: Factorial primes PrimeGrid, Factorial Prime Search

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