ペル方程式

ペル方程式（ペルほうていしき、）とは、 を平方数ではない自然数として、未知整数 , について

の形のディオファントス方程式である。

ペル方程式の一般的な解法は、1150年にインドのバースカラ2世が見つけている。彼はブラーマグプタのを改良した解法を使い、同じ技法を応用して不定二次方程式や二次ディオファントス方程式の一般解も見つけた。西洋におけるペル方程式の一般的な解法は、ウィリアム・ブランカーが発見した。しかし、オイラーはこの方程式を研究したのはジョン・ペルであると誤解し「ペル方程式」と命名したため、その名前が広く使われるようになった。

解法 平方数でない正の整数 に対してペル方程式は必ず自明な解 () 以外の整数解を持つことが知られている。また1つの解 を得たとすれば、

は全てペル方程式の解になる。また逆にペル方程式の全ての解は最小解の冪乗になることが知られている。

最小解を得る法としては、連分数展開からの近似分数を利用する方法が良く用いられる。

具体的には、 の連分数展開を、 と置き、近似分数 を、とすると、 が解になる。ただし、周期 が奇数の場合は、右辺 = −1 の解が得られるので、1 の解を得るには上記の式で二乗する必要がある。ここで、A は を整数部分、 を循環節とする無限連分数で、B は循環節を一周期だけ採り、最後の項 を除いた、有限連分数である。ちなみに、 は左右対称となっており、 が常に成立する。

例えば が ならば、 (周期は 4 で偶数) なので、 から近似分数 が得られ、 が最小解となる。 が の場合は、（周期は 11 で奇数）なので近似分数 が得られ、右辺 = −1 の最小解は となる。右辺 = 1 の最小解は、 から となる。

解の公式から

とおくと、

が得られる。つまり、ペル方程式の解に対して、 はリュカ数列を構成する。

拡張1 冒頭の不定方程式の右辺を 1 のかわりに −1 としたもの

もペル方程式と呼ばれることがあるが、これは の値によっては解を持たないこともある。

解を持つ と、解の例をいくつか挙げる： のとき のとき のとき 。

どのような n が -1 の解を持つのかは、未解決問題だが、 を連分数展開したときの循環節の長さ(周期)が奇数のとき、かつその場合に限り解を持つことが、知られている。−1 の解を持つ n の必要条件としては、 4の倍数でない 4k + 3 型の素因数を持たない の形でない は、 が を割り切る（即ち、 は の因数である）ことを表す。 は、全てこの形に含まれる。 が挙げられる。1, 2は、

と置いたとき、N が2平方和に分解されており、 であることから、2平方和定理からの自明な帰結として得られる。3は、この形の数の平方根が と、周期2の連分数に展開されることから、導かれる。例えば、 なら である, なら である。周期が 4, 6 のときの形を示すこともできるが、かなり煩雑であり、周期が偶数（又は奇数）の場合の一般形を示せなければ、情報としての価値が低いので、周期2の形のみを示す。。上記が、必要条件であり、必要十分条件でないことは、34 (= 2 × 17), 205 (= 5 × 41), 221 (= 13 × 17) などの多数の反例で示される。

十分条件の報告例は少ないが、n が 4k + 1 型の素数の場合や 8k + 5 型の素数の2倍の場合も、必ず解を持つことが報告されている"HIGHER DESCENT ON PELL CONICS."。また、 の形であれば、 が解になることは、明らかであろうこの形は、必要条件3で a = 2k とした場合に相当し、その平方根は と、周期 1 の連分数に展開される。近似分数は、 である。。

拡張2 右辺を1の代わりに4としたもの

もペル方程式とよばれることがあるが、これは二次体の単数と深く関連している。 を二次体とし、 をその判別式とすると、

の整数解に対して

全体は の単数全体と一致する。特に最小解を とおくと、

は の基本単数となり、この方程式の解について、通常のペル方程式の場合と類似した公式

が得られる。

最小解の一覧表 の、115 以下の についての最小解の一覧表を、以下に示す。 nxynxynxy232 42132 79809321 433482531 8091594 4419930 8216318652 4516124 83829783 46243353588 84556831 47487 852857693099610196 4871 8610405112211103 509914 872831272 51507 881972113649180 5264990 895000015300014154 53662499100 901921541 5448566 91157416517338 558912 92115112018174 56152 931215112601917039 5715120 9421432952210642092 58196032574 95394215512 5953069 964952219742 60314 9762809633637735223245 611766319049226153980 9899102451 62638 99101265110 6381 1012012027265 6512916 102101102812724 66658 103227528224192998011820 67488425967 10451530112 68334 105414311520273 697775936 10632080051311589032173 7025130 1079629333234 713480413 108135113034356 72172 109158070671986249151404244551003561 732281249267000 110212377312 74 3699430 1112952838376 75263 1121271239254 76577996630 113120435311329640193 7735140 114102596412049320 78536 1151126105

の、653 以下の についての最小解の一覧表を、以下に示す。 nｘｙnｘｙnｘｙ211 1931764132126985 4091119217969685534176685521 197141 4214404244569682141821464974635307851031 2023141221 4252681313185 21825117 43372306606843474833771741 226151 4422112651 2291710113 4454662221297013 233231561517 44918947133289417053761 241710110684574225 45759089951584276411134941325 2504443281 45810755071 257161 4612431411011324215318225 2656072373 48196414043961589913 269825 48522161297183805 274140785 493683982308056581 2778920484118535979945 50939572795017540333731068125 281106353263445 521128377240562430974435 290171 530 2318291 2932482145 53361182658537841 29840955723725 5386905129778950053 3131268623687170685541136151631646922745058536158470221581975604569 31444325 5541742937405101101 31735261819805 55711851064005389 325181 565147522786206331098890182851525 337101582733655335641 569289486383212135900511377673 33823913 577241122111 346935 586411508670716999266512568261 3499210493 59360063224665130575 353712643793 60113946830367953256890307698451371744149 362191 610718472909145121 3653458181 613481673579088618194546126240651491135829305 37032717 6174100971616509891574832118385645 3735118265 626251170131 389128265 6297850313173111885 39439502303519900973 634659994581252621173333181111122577082596761 397204783029821027776565 641361208334681426687145185685 401201 653229128638289664965

脚注 注

出典

参考文献

第27章 どの数が平方数２つの和となるのでしょう？（193–194頁） 第40章 連分数，平方根，そしてペル方程式（327–341頁） 高木貞治：「初等整数論講義」第２版，共立出版 (1971)。

関連項目 ペル数 アルキメデスの牛の問題

外部リンク