運動量

とは、物体の運動の状態を表す物理量（ベクトル量）の1つであり、「静止した瞬間から現在までの間にその物体が受けた力積の総量」として定義される。運動学的運動量（）、動的運動量（）、線型運動量（、）とも。

概要運動量は運動の状態を表す時間のベクトル関数であり、それ自体は運動の勢いp.62 より引用。p.4 より引用。、その大きさは運動の激しさ、その向きは運動の方向と解釈される。運動量は運動量保存則に従う保存量であり、運動の第2法則（ニュートンの運動方程式）に従ってその時間変化率がおよぼされる力と一致する。また、物体におよぼされた力積が運動量の時間変化量と一致する。系をなす全ての物体の運動量の総和は系の全運動量になる。古典力学において運動量は質量と速度の積に等しく、運動エネルギーは運動量の大きさに紐づく（⇒ #性質）。

解析力学では、上述の定義から離れ、運動量（一般化運動量とも）は一般化座標とオイラー＝ラグランジュ方程式を通じて与えられる（⇒ #解析力学における運動量）。

単位単位は、kg⋅m/sまたはN⋅s。

静止している物体の運動量は、 kg⋅m/s（ N⋅s）である。

性質

大きさと向きを持つベクトル量運動量はベクトル量であり、大きさと方向を持つ。

運動の勢い運動量は運動の勢いと解釈される。

直交座標系のベクトルとしての運動量は軸それぞれに値を持つ。後述するように、古典力学において運動量はであるため、運動量の各成分は、運動の向きを符号として持ち、重い物体がその軸方向に素早く動くほど絶対値が大きくなる。このように振る舞う成分を束ねたベクトルである運動量は、運動の「勢い（モメンタム）」と解釈できる。

大きさが運動の激しさ運動量の大きさは運動の激しさと解釈される。

一般に、重くて速い物体の運動は向きに依らず「激しい」と理解される。後述するように、古典力学において運動量はであり、重くて速い物体の運動は運動量が大きい。この事実と運動量の大きさを激しさと解釈することは整合的である。

方向が運動の向き運動量の方向は運動の向きである。

時間の関数サムネイル|時間発展|左|90x90ピクセル運動量は運動の状態を示す量であり、時間の関数で表現される。

運動は時間発展する。そのため運動の状態を示す運動量も時間発展し、時刻の関数で表現される。運動量はであるため、運動量の瞬間的な時間発展は維持（黒）、あるいは大きさのみ（緑）・向きのみ（赤）・大きさ＋向き（青）の変化、のいずれかになる（図参照）。

時間変化率が力

運動量の時間変化率は物体におよぼされる力と一致する。

運動の第2法則より、物体の運動量が時間によって変化する割り合いすなわち時間変化率は、その物体におよぼされる力に比例し同じ向きになる。比例定数がとなる単位系を採用すれば、時間と運動量と力の間には次のニュートンの運動方程式が成立する：

ここでならであり、運動量は変化しない（⇒ #保存量、参考: 運動の第1法則）。サムネイル|100x100ピクセル|力の分離はであるため、その時間発展は大きさと向きに分解できる。よってもの大きさの変化率に寄与する部分と向きの変化率に寄与する部分に分解できる。前者はと平行な部分で、後者は残りの部分である（図参照）。なら向きそのままに大きさだけが変化し、なら大きさそのままに向きだけが変化する。これは・と合わせて、がアクセル・ブレーキ、がハンドルに例えられる（加速度も同様）。なお、この分解は運動量と力のなす角度に依存するため、が作用して向きが変わると、次の時刻では同じでも異なる角度を取りうる。つまり分解が時間依存になりうる。

時間変化量が力積

運動量の時間変化量は物体におよぼされた力積と一致する。

時刻からの間に物体へ力が作用したとする。ニュートンの運動方程式（⇒ #時間変化率が力）と力積の定義を用いると、この間の運動量の時間変化量は、

と変形できる。すなわち、運動量の時間変化量は物体におよぼされた力積と一致する。

力が一定つまりのとき、上式よりとなる。よって一定の力は長時間加えるほど物体の運動量を変える。。

和が全運動量

系を構成する要素の運動量を全て足し合わせると、系の全運動量となる。。

保存量

運動量は運動量保存則に従う保存量である。

外力の和が常になとき、全運動量は時間発展に依らず一定、すなわち運動量保存則が成立する。系をなす物体が運動量を失うと、ちょうど失われた分だけ他の物体の運動量が増加する。保存量である運動量は系をなす物体間で授受され、系として増えも減りもしない。

対称性に対応する保存量運動量は空間の一様性（並進対称性）に対応する保存量である。時間の一様性に対応するエネルギー、空間の等方性に対応する角運動量とともに、基本的な物理量である。

運動量保存の法則は、ニュートン力学においては作用反作用の法則から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である。たとえば、電磁気学などの場の理論では近接作用論の立場をとり、遠隔作用論的な法則である作用反作用の法則をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される。

質量と速度の積古典力学において、運動量は質量と速度の積に等しい。

物体の質量を、速度を、運動量をとする。これらの間には、古典力学の範囲でが常に成立する。よって古典力学の範囲において、運動量は速度に比例し、また質量にも比例する。運動量のという性質と合わせると、は運動の変化しづらさ・慣性の大きさと解釈でき、は慣性質量とも呼ばれる。

ニュートンは『自然哲学の数学的諸原理』でこの性質を述べた。古典力学の範囲でこの性質は正しいとみなせるが、相対論的力学では成立しない。

大きさが運動エネルギーと紐づく運動量の大きさは運動エネルギーと紐づく。

古典力学の範囲において物体の運動量がであることを用いると、運動エネルギーは次のように変形できる：

すなわち、古典力学の範囲では運動量の大きさの二乗を質量の二倍で割ったものが運動エネルギーになる。質量で割るためとは紐づいているに過ぎず、運動量の一致は運動エネルギーの一致を意味しない（例）。逆に質量が等しい条件下（例: 同じ物体の異なる時点）であれば、運動量の大きさの一致は運動エネルギーの一致を意味し、これは運動量の向きに依らない。

このことは、力を大きさに寄与すると向きに寄与するに分解できること（⇒ #時間変化率が力）と関連する。運動エネルギーは運動量の大きさに紐づき、逆に運動量の向きに影響されない。よっては運動エネルギーを増減させるが、は向き・軌道を曲げるだけで運動エネルギーに関与しない。アクセル・ブレーキとハンドルの比喩に整合的である。

他の物理量との関係運動量は他の様々な物理量と関連する。以下はその一例である： +名称変換式名称変換式位置慣性質量慣性モーメント速度角速度運動量角運動量力積力力のモーメント運動エネルギー

解析力学における運動量解析力学において、一般化座標に対応する一般化運動量はその系のラグランジアンの一般化速度による偏微分として定義される。

ここで、ラグランジアンは、運動エネルギー、ポテンシャルの差として定義される。

一般化運動量と区別するため、古典力学的な運動量は運動学的運動量・動的運動量とも呼ばれる。

ハミルトン形式の力学では、一般化速度の代わりに一般化運動量が力学変数として用いられる。ハミルトニアンは、ラグランジアンのルジャンドル変換として定義される。ルジャンドル変換

の右辺を最大化するを考えると、ルジャンドル変換をする領域の中でラグランジアンが凸でありかつ充分滑らかなら、そのようなは以下の関係を満たす。

これはすなわち、ハミルトニアンの変数が一般化運動量に等しいことを意味する。

ハミルトン形式の解析力学特にハミルトン形式の解析力学においては、正準方程式を通じて与えられる正準変数の一方を座標と呼び他方を運動量と呼ぶ。この意味の運動量は、他と区別して、正準運動量と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、共役運動量と呼ばれる。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の量子力学においても重要な役割を果たす。

共役運動量と通常の運動学的運動量の違いが際立つ例として、磁場中を運動する電子の運動の例が挙げられる（#解析力学における運動量も参照）。電磁場中を運動する電子に対してはローレンツ力が働くが、このローレンツ力に対応する一般化されたポテンシャルエネルギーには電子の速度の項があるために、共役運動量はラグランジアンのポテンシャル項に依存した形になる。このとき共役運動量と運動学的運動量は一致しない。また、電磁場中の電子の運動を記述する古典的ハミルトニアンでは、共役運動量の部分がすべて共役運動量からベクトルポテンシャルの寄与を引いたものに置き換わる。

直交座標系 3 次元の直交座標系においては、ポテンシャルが速度に依存しないときには

であり、このとき一般化運動量は質量と速度の積となっている。これはニュートン形式の運動量に一致する。

極座標系一般化座標として二次元極座標を選ぶと、ラグランジアン及びに共役な運動量はそれぞれ

となる。ここで、に共役な運動量は角運動量となっている。またの共役運動量は動径方向への運動量を表している。

一般化されたポテンシャルポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。

このような系の例として、電磁場中を運動する電荷を持つ粒子の非相対論的な運動が挙げられる。この系のラグランジアンは具体的に

である。ここでは物体の持つ電荷、はスカラーポテンシャル、はベクトルポテンシャルである。このとき、共役運動量は

となる。このときの共役運動量は質量と速度の積の普通の運動量に、電磁場との相互作用によるの項が加わる。このとき、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換

より、

となる。ベクトルポテンシャルのない系と比べると、形式的には共役運動量を運動学的な運動量に置き換えたものとなっている。

相対性理論における運動量

相対性理論において運動量とエネルギーはミンコフスキー空間における四元ベクトルを為し、

である（は質量、は固有時間）。これの空間成分は

となる。非相対論的極限において前述の運動量（質量と速度の積）に一致する。

運動量とエネルギーは

の関係を満たしている。運動量がの場合は有名なの式になっている。

量子論における運動量

光（あるいは電磁波）は波であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。そのエネルギーと運動量は

である。（ここではプランク定数、は振動数、は角振動数、は真空中の光速、は波長、は波数である）

前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、からこの粒子の質量はであることが分かる。この質量の粒子を光子という。

量子力学では、上記の古典論的運動量は、波動関数に対する、

という演算子であるとみなされる。ここに、は虚数単位、はナブラである。

或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、

である。これらは対応原理と呼ばれ、解析力学における作用積分の汎関数微分が

であることなどから類推された。

また、正準量子化という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係

を満たす物理量として量子化される。

脚注

注釈

出典

参考文献

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