方べきの定理（方冪の定理、方羃の定理、方巾の定理「冪/羃」はひらがなで書かれることが多い。また、「巾」は数学者の間では「冪」の略字として用いられている。(詳しくは冪乗を参照されたい)、ほうべきのていり、）は、平面初等幾何学の定理の1つである。
定理の主張
（図1、図2）円 O とその円周上にない点 P について、点 P を通る2本の直線 , m がともに円の割線（円との共有点が2個である直線）になっているとする。円と の交点を A, B とし、円と m の交点を C, D とすると、
が成り立つ。
（図3）また、P が円 O の外側にあり、P を通る直線の一方が円 O の接線となる場合にも、円と割線の交点を A, B とし、円と接線の接点を T とすると、
が成り立つ。
証明 P が円 O の内側にある場合左の図において、同一の弧に対する円周角は互いに等しいから ∠PAC = ∠PDB ∠PCA = ∠PBD 二角相等により △PAC ∽ △PDB よって PA: PC = PD: PB すなわち PA ・ PB = PC ・ PDP が円 O の外側にある場合左の図において、円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しいから、 ∠PAC = ∠PDB ∠PCA = ∠PBD 二角相等により △PAC ∽ △PDB よって PA: PC = PD: PB すなわち PA ・ PB = PC ・ PD直線の一方が接線になる場合左の図において、接弦定理により、 ∠PTA = ∠PBT また、共通の角として ∠TPA = ∠BPT 二角相等により △PAT ∽ △PTB よって PA: PT = PT: PB すなわち PA ・ PB = PT
方べきの定理の逆 方べきの定理は、適当な意味においてその逆が成立することが知られている。
平面上に相異なる4点 A, B, C, D があり、直線 AB と 直線 CD がただ一つの交点 P をもつとする。ここで次の条件を考える。
(1) (2-1) P は線分 AB の内部の点であり、線分 CD の内部の点でもある。 (2-2) P は線分 AB の外部の点であり、線分 CD の外部の点でもある。
(1)かつ(2-1)を満たすならば、4点 A, B, C, D を通る円（共円）が存在し、P はこの円の内側にある。
(1)かつ(2-2)を満たすならば、4点 A, B, C, D を通る円が存在し、P はこの円の外側にある。
また、平面上に相異なる3点 A, B, T があり、直線 AB 上に点 P があるとする。ここで次の条件を考える。 (3) (4) P は線分 AB の外部の点である。 (5) A, B, T は同一直線上にない。
(3)かつ(4)かつ(5)を満たすならば、3点 A, B, T を通る円（△ABTの外接円）の T における接線は P を通る。
いずれの場合も、もとの定理の証明を逆向きにたどるようにして、三角形の相似を利用して証明することができる。条件(2-1), (2-2), (4), (5)を外すことができないことには注意すべきである。
方べきの値
この節では、円をその中心点の名前を借りて円 O のように呼ぶことはせず、独立した記号を与えることとする。
平面上に点 O, P と、O を中心とする円 ω がある。P を通る直線 が ω と1つまたは2つの共有点をもつとし、それを A, B とする（共有点が1つのときは A=B として扱う）。
さて、P と ω が動かずに、 がさまざまに動くとき、A, B はつられてさまざまに動くが、 の値は変化しないことが方べきの定理からわかる。P≠O のとき、直線 OP を考えることにより、
と表すことができる。P=O のときにも、ω の任意の直径を考えることにより、やはり
が成り立つ。
そこで、P と ω のみによって決まる量
を定義すると便利である。この値を、P の ω に関する方べきの値（ほうべきのあたい）または単に方べき（ほうべき、）という。記号には などが用いられることもある。
方べきの値は、P が ω の外側にあれば正、ω の内側にあれば負、ちょうど ω の上にあればゼロとなる。
学校数学で方べきの値が教えられることは少ない。
平面上の異なる中心をもつ2つの円の根軸は、方べきの値を用いて特徴付けられる。
脚注
参考文献
外部リンク
方べきの定理まとめ（証明・逆の証明） - 理系ラボ 方べきの定理とその逆の証明 - 高校数学マスター
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