退化（たいか、）とは、数学において、ある種類の対象が極限的あるいは特殊な場合として、別のより単純な対象として扱われることをいう。数学用語としての degenerate は、ある対象の性質が変化して、ふつうはより単純な別種の対象に属するようになる極限的な場合を指す。
退化という語は数学の多くの分野で用いられるが、その意味内容は文脈によって異なる。幾何学では図形が次元や形状の自由度を失った特殊な場合を指し、代数学や線型代数学では重根や可逆でない行列、あるいは非自明な核をもつ形式のような特別な場合を指すことがある。また確率論では、確率変数がただ一つの値しかとらない場合に退化分布という語が用いられる。
概要 数学における退化は、一般には「通常は区別される構造が、特別な条件のもとで一致したり縮退したりして、より単純な対象になること」を表す。たとえば、円の半径を 0 にすると 1 点になり、楕円の離心率を 0 にすると円になる。MathWorld では、点は退化した円、円は退化した楕円の例として挙げられている。
例 幾何学 ユークリッド幾何学では、3 頂点が一直線上に並ぶ三角形は退化三角形と呼ばれる。これは三角形の二辺の和が他の一辺に等しくなる場合であり、三角不等式の等号成立の場合に対応する。
円錐曲線においても退化は重要である。平面が円錐の頂点を通るとき、交線は通常の楕円・放物線・双曲線ではなく、1 点、1 本の直線、または 2 本の交わる直線になる。『ブリタニカ百科事典』は、これらを円錐曲線の特別な退化の場合としている。
このように幾何学では、図形の一部の長さが 0 になる、複数の点が一致する、あるいは本来 2 次元的・曲線的な対象が 1 次元的・0 次元的対象になる場合を、退化した場合という。
代数学・線型代数学 多項式論では、通常は相異なる根が一致するとき、その根を重根という。MathWorld は、二次多項式 の 2 つの一致した根を退化の例として挙げている。
線型代数学では、正方行列が可逆でない場合に singular（特異）と呼ばれるが、文脈によっては degenerate とも呼ばれる。このとき行列式は 0 であり、線形写像としては同型にならない。退化という語はさらに、双線型形式や二次形式についても用いられる。実際、対称双1次形式 が非退化であるとは、「任意の に対して ならば 」が成り立つことをいい、有限次元では対応する行列が正則であることと同値である。したがって、この条件を満たさず非自明な核をもつ双線型形式は、退化した形式（退化形式）であるといえる。
確率論 確率変数が確率 1 でただ一つの値だけをとるとき、その分布は退化分布と呼ばれる。統計学辞典では、退化分布は「確率変数の分布がただ1点に集中している特別な場合の確率分布」と説明されている。
関連項目 退化形式 退化三角形 退化分布 重根 円錐曲線
脚注