一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、）とは、
複素数列 、無限大に発散する狭義の単調増加列 および複素数 s に対して、
で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。
特に、 のとき、
であり、(通常)ディリクレ級数となる。
また、、 とすると、
と、ベキ級数になる。
s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。
収束性 収束軸 任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。 一般ディリクレ級数が を満たす複素数 s に対して収束し、 を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 が存在する。
この を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは 、常に発散する場合は と定める。
収束軸の値の求め方
一般ディリクレ級数
の収束軸 の値は、以下の様に求められる。 が発散する場合 。 が収束する場合 。
また、
という式も知られている。
絶対収束性 一般の級数のときと同じく、
が収束するとき、一般ディリクレ級数
は絶対収束するという。
絶対収束する複素数 s に対する、 の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは 、常に絶対収束しない場合は と定める。
ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。
例えば
は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。
一般に、収束軸が有限の値 を持ち、
が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 は有限の値を持ち、 α が有限の値でない場合でも、この不等式は成立する。しかし、絶対収束する点が存在するかは、この不等式からでは分からない。であることが知られている。
絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。
一般ディリクレ級数
の絶対収束軸 の値は、以下の様に求められる。 が発散する場合 。 が収束する場合 。
また、
が成り立つ。
一様収束性 一般ディリクレ級数を
として、s を変数とする関数とみなすと、 の一様収束性が問題となる。
一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 および絶対収束軸 が有限の値であるならば、 このとき、
を満たす実数 が存在して、 を満たす複素数 s に対して、 は一様収束するが、 を満たす複素数 s に対して、 は一様収束しない。
この を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。 一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは 、常に一様収束しない場合は と定める。
一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。
ディリクレ級数
の一様収束軸 の値は、以下の様に求められる。
ここで、
解析的性質 正則性 一般ディリクレ級数
は、 で収束するならば、 で正則である。さらに、 の微分は
で与えられる。
で正則である様な σ の下限を とおくと。
但し、
一般ディリクレ級数の一意性 2つのディリクレ級数
が、ある開領域内で収束し、そこで、 が成立するならば、すべての n に対して、 である。
一般ディリクレ級数の係数 収束軸 が有限の値もしくは である、一般ディリクレ級数
に対して、ω を を満たす様にとり、 とする。このとき
が成立する。但し、積分路は、すべての を通らない様にとる。
さらに、 であるならば、
一般ディリクレ級数の零点の個数 ε、 δ、T を任意の正数とする。
収束軸 が有限の値である一般ディリクレ級数
に対して、 を満たす複素数 のうち、 を満たすものの個数を とおくと、 は有限の値であり、
が成立する。
注釈
参考文献
関連項目 級数 冪級数 ディリクレ級数