数論的関数（すうろんてきかんすう、）とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。
複素数の無限数列 は という対応で、数論的関数とみなすことができる。
素因数分解に関連する関数 正整数 に対して
と素因数分解する。
この項では、 が によって得られる数論的関数について述べる。
加法的関数 互いに素である正整数 と に対して、 が成立するとき、加法的関数（）という。
つまり、
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 と に対して、 が成立するとき、完全加法的関数（）という。つまり完全加法的関数とは
が成立する数論的関数である。
例 対数関数: n の相異なる素因数の個数を表す
n の重複度を数えた素因数の個数を表す
素数 p に対して、n を割る最大指数を表す、
乗法的関数 互いに素である正整数 m と n に対して、 が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。
つまり、
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 m と n に対して、 が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは
が成立する数論的関数である。
例 約数関数 σx(n) は乗法的関数であるが、完全乗法的関数ではない。
q進展開に関連する関数 q を 2以上の正整数とする。
このとき、任意の正整数 n に対して
と q 進展開する。
この項では、 が によって得られる数論的関数について述べる。
q加法的関数 を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。
特に、q加法的関数 が を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。
例 sum of digits 関数 digit counting 関数 但し、b は のいずれか。
q乗法的関数 を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。
特に、q乗法的関数 が を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。
例 トゥエ・モース数列 product of digits 関数
その他の数論的関数 (1) 素数に関係する関数 素数計数関数: フォン・マンゴルト関数:
(2) 数の表現・分割
n を２つの平方数の和で表す表し方の数を与える n を正整数の和で表す表し方の数を与える ウェアリングの問題 全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 十分大きな全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値
性質 代数的性質 数論的関数 に対して、ディリクレ積 を
と定めると、 は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。
乗法的関数 に対して、ディリクレ積 で得られた数論的関数は乗法的関数となる。
数論的関数 が、ある正数 C と、数論的関数 が存在して、 と表されるとする。すると、 が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、 は(完全)加法的関数である。
位数 (1) 最大位数
数論的関数 に対して、ある単純な形をした n の関数 が存在して
が成立するとき、 の最大位数は であるという。
(2) 平均位数
数論的関数 に対して、ある単純な形をした n の関数 が存在して
が成立するとき、 の平均位数は であるという。
従って、 は、だいたい であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、 がほぼ である様な n は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。
(3) 正規位数
任意の正数 ϵ とほとんど全て条件を満たさない n 以下の正整数の個数を n で割った値が 0 に収束するという意味。の正整数 n に対して
が成立するとき、 の正規位数は であるという。
平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。 平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。
例 (1) 約数関数
最大位数は、
であり、平均位数は である。 さらに の正規位数は である。 従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して
が成立する。
つまり、ほとんど全ての正整数に対して、 の値は、平均位数よりも小さい。
(2) 約数和関数
最大位数は
であり、平均位数は である。
(3) オイラー関数
最大位数は であり、平均位数は である。
(4) n の相異なる素因数の個数を表す関数
平均位数および正規位数は共に である。
(5) n の重複を込めた素因数の個数を表す関数
平均位数および正規位数は共に である。
(6) 素数の個数を表す
正規位数は、 である。
出典
注釈
参考文献
関連項目 関数 数列