群準同型

数学、特に群論における群の準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、）は群の構造を保つ写像である。準同型写像を単に準同型とも呼ぶ。

定義と注意ふたつの群とが与えられたとする。からへの群準同型とは、写像で、を満たすものである。ここで、左辺はの元に対しての群演算を施したものをで写した先のの元を意味し、右辺はの各元をでの元に写したものにの群演算を施したものである。

定義から、準同型写像は、の単位元をの単位元に写し、またが成り立つという意味で逆元を逆元に写すということが示せる。このとき、「は群構造と両立する(compatible with)」とも言う。

注意古い記法では、はやと表記されていた。ただしこの記法では、何らかの指数や一般の添字などと混同しやすい。なお、より最近の記法では準同型を引数の右側から作用させるときは括弧を書かないというようなものもある。この場合は単にと書ける。これは特に、オートマトンによる機械処理を行う分野で一般的である。オートマトンは左から右へ順番に読めばいいので処理しやすいためである。

群に何か別の構造が付加されている場合には、「準同型」という言葉は（上記のような）群構造だけではなくて、付加された構造についてもよく振舞うをこと意味していることもある。たとえば、位相群の準同型といえば、しばしば連続性も要求される。

群からへの群準同型全体のなす集合はと表記される。

像と核準同型の核を、によっての単位元にうつるの元全体の集合と定義し、また準同型の像をで定義する。核はの正規部分群である（実際、とすれば、任意のに対しが成立するから、はすぐにわかる）。また、像はの部分群である。準同型が単射（しばしば群単準同型と呼ばれる）になることととなることとは同値である。

準同型の核と像は、その準同型がどのくらい同型に近いかを測るものと解釈することができる。第一同型定理によれば、準同型の像は、余像と呼ばれる商群に同型である。

例

巡回群と、整数全体の成す加法群を考える。によって定義される写像は群準同型である。これは全射であり、核は3の倍数全体の成す集合である。指数関数は、実数全体の成す加法群から、非零実数全体の成す乗法群への準同型を与える。核はであり、像は正の実数全体である。指数関数はまた、複素数全体の成す加法群から、非零複素数全体の成す乗法群への準同型をも与える。この写像は全射であり、核はオイラーの公式から明らかなようにとなる。やのように、その加法群から乗法群への準同型を持つ体を指数体と言う。有限集合上の置換に対して符号を対応させる写像は群準同型である。ここでは次対称群である。この群準同型はのとき全射であり、その核は次交代群と呼ばれる。複素成分の次正則行列に対して行列式を対応させる写像は群準同型である。ここでは複素数体上の次一般線型群である。この群準同型は全射であり、その核は次特殊線型群と呼ばれる。実成分の次正則行列に対して逆行列の転置を対応させる写像は群（準）同型である。このときで固定される行列の全体は直交群となる。零でない複素数に対して絶対値を対応させる写像は群準同型である。この写像の像は正の実数の全体であり、核は複素平面の単位円に属する複素数の全体である。奇素数についてルジャンドル記号はからへの群準同型を定める。

群の圏およびが群準同型ならば、それらの合成もまた群準同型である。これにより、群全体の成す（圏論的な意味での）類に群準同型を射としてあわせて考えたものは、群の圏と呼ばれる圏を成す。

準同型写像の種類準同型が全単射ならば、その逆写像もまた準同型になることが示せる。このときは群同型写像であるといい、群とは互いに同型であるという。互いに同型な群というのは、その元の記述の仕方が違うだけで、実用上は同一視できる。

定義域と終域が同じ群準同型写像はの自己準同型写像という。さらに、が全単射、すなわち同型になるとき、自己同型という。のすべての自己同型からなる集合は、写像の合成を演算として群をなす。これを、の自己同型群と言い、と表記する。たとえば、群の自己同型群は、恒等変換と倍写像の二つの元のみからなり、に同型である。

全射準同型（つまり、上への写像となっているような準同型）を全準同型という。また、単射準同型（つまり、一対一写像となっていうような準同型）を単準同型という。

アーベル群の準同型とをアーベル群（つまり、演算が可換な群）とすると、からへの群準同型全体の成す集合をそれ自身ひとつのアーベル群とすることができる。ただし準同型との和を点ごとの和、すなわちを満たすものとして定める。の可換性は、がふたたび群準同型となることを示すのに必要である。

準同型の加法は、準同型の合成と以下の意味で両立する: の任意の元およびの任意の元およびの任意の元に対しておよびが成り立つ。これはアーベル群の自己準同型全体の成す集合は（準同型の和と合成に関して）環を成すことを示している。環をアーベル群の自己準同型環と言う。たとえば、巡回群の個の直和として得られるアーベル群の自己準同型環はに成分を持つ -次正方行列全体の成す環に同型である。上記の和と合成に関する両立性はアーベル群（と群準同型）の圏が前加法圏を成すことをも示している。直和の存在や核がよく振舞うことから、圏はアーベル圏の原型的な例となっている。

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