積分変換

積分変換（せきぶんへんかん、）とは、与えられた関数に別の関数を対応させる変換で、何らかの関数を用いて以下のように積分で定義される：

　...（）

ここではの部分集合上定義された複素数値の関数であり、はの部分集合であり、は何らかの関数である。、、、は「十分性質の良い」事が暗に仮定されている。

（）におけるを積分変換の積分核（）もしくは単に核（）と言う。またを積分変換の原関数（）、を積分変換の像関数（）という。

積分方程式に関する一般論はフレドホルム理論として知られているが、この理論では、核とは「関数からなる或るバナッハ空間上のコンパクト作用素」のことであるものと理解される。状況に応じてその核はフレドホルム作用素、核作用素、フレドホルム核など様々な呼ばれ方をする。

概要積分変換の具体例としてはフーリエ変換やラプラス変換などがある。積分変換の主な応用先は微分方程式であり、特に前述したフーリエ変換やラプラス変換は微分や積分を変数との積に変換するので、微分方程式が代数方程式に変換される。メリン変換のように解析的整数論への応用を持つものもある。

積分変換の中には逆が存在し、（）の左逆変換がを核とする積分変換で書けるものもある。すなわち、

このような公式は反転公式と呼ばれる。二変数の順番が変わっても変化しないような核は対称核と呼ばれる。

積分変換の定義について２つ注意を述べる。第一に積分（）は常に収束するとは限らない。このためはの全域で定義されるとは限らず、（）が収束する全体の集合がの定義域となる。特に、がいかなるに対しても意味を持たない関数も一般には存在しうる。そこで積分変換を考える場合はの取りうる範囲を限定する事でこのようなを排除する必要がある。

第二に、上では、、およびが通常の意味での関数である場合を考えたが、より一般にシュワルツ超関数であってもよい。

シュワルツの核定理積分変換は明らかに線形性

を満たすが、十分性質の良い関数に（超関数を許容した）別の関数を対応させる線形変換で「連続」なものは積分変換に限られる事が知られている。

以下では開集合上定義されたテスト関数（＝台が有界な級関数）全体の集合であり、は上のシュワルツ超関数の集合である。なお、、には標準的な位相構造が入れられているものとし（詳細はシュワルツ超関数の項目を参照）、したがって連続性の概念を定義可能である。()は積分によって記述されているものの、超関数をも許容している関係で実際には微分をも含む可能性がある事に注意されたい。例えばがデルタ超関数の回微分を使ってと書けていれば、

のようにの回微分で書ける。

具体例一次元の積分変換とその逆変換、の具体例として下記のものがある。 + 積分変換の表名称記号フーリエ変換フーリエ正弦変換フーリエ余弦変換ハートレー変換メリン変換両側ラプラス変換ラプラス変換ハンケル変換ヒルベルト変換ポアソン核恒等変換逆変換に対する積分の極限において、上の表における c は変換関数の性質に依存する定数となる。例えば、ラプラス変換あるいは両側ラプラス変換に対し、c は変換関数の零点の実部のうち最大のものよりも必ず大きい定数となる。

定義域が異なる場合本項では主に、実数全体で定義された関数に対して定義される積分変換を扱うが、より一般な群上で定義された関数に対してもその積分変換を定義することが出来る。円周群上で定義された函数（つまり周期関数）を用いた場合、積分核は二重周期関数となる。円周上の関数による畳み込みは巡回畳み込みである。位数 n の巡回群（これを Cn や Z/nZ で表す）の上で定義された関数を用いた場合、積分核は n × n 行列となり、畳み込みは巡回行列に対応する。

注

参考文献 A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 R. K. M. Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1 Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Źródło i licencja