確率論において、チャップマン＝コルモゴロフ方程式（チャップマン＝コルモゴロフほうていしき、）とは、マルコフ過程における条件付き確率（遷移確率）が満たす方程式。マルコフ過程の条件付き確率の時間発展を定める。スモルコフスキーの方程式とも呼ばれる。
1906年にポーランドの物理学者により、特別な場合が導出されるともにM. Smoluchowski, "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen", Annalen der Physik, 21 (1906) pp. 756–780 、後に英国の物理学者チャップマンやロシアの数学者コルモゴロフらによって、一般的な形で定式化されたS. Chapman, "On the Brownian displacements and thermal diffusion of grains suspended in a non-uniform fluid", Proc. Roy. Soc. Ser. A , 119 (1928) pp. 34–54 A. Kolmogorov, "Ueber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" Math. Ann. , 104 (1931) pp. 415–458 。 概要
マルコフ過程X (t )に対し、P(xb, tb |xa, ta)をその条件付き確率とする。このとき、t1<t2<t3を満たす任意のt2について、
が成り立つ。この方程式をチャップマン＝コルモゴロフ方程式と呼ぶ。この非線形積分方程式は一般的な確率過程X (t )が、マルコフ過程となる必要条件を与える。
証明 を状態空間、 を全順序集合、 を に値をとるマルコフ過程、 を時刻、 を状態とする。周辺確率の定義より、次が常に成立する：
マルコフ過程の定義より、次が常に成立する：
後者を前者に代入することで、次が常に成立する：
∎ なお、 が高々可算集合つまり がマルコフ連鎖の場合、 は で置き換えて証明する。
表現
扱う系によって、チャップマン＝コルモゴロフ方程式はいくつかの表現形式をとりうる。
以後、とする。
連続時間マルコフ連鎖における表現 連続時間マルコフ連鎖では、離散状態をとるため、 チャップマン＝コルモゴロフ方程式は
の形で表される。
離散時間マルコフ連鎖における表現 離散時間マルコフ連鎖では、同様に、チャップマン＝コルモゴロフ方程式は
となる。ここで、遷移行列
を導入すれば、チャップマン＝コルモゴロフ方程式は遷移行列Pを用いて、
という行列の積で表現される。
脚注
注釈
出典
関連項目 マルコフ過程 マルコフ連鎖 連続時間マルコフ連鎖 離散時間マルコフ連鎖