電磁場テンソル（でんじばテンソル）とは、電磁場を相対性理論に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。
定義 電磁場の強度（） は二階のテンソル
と定義されるランダウ, リフシッツ pp.67-69, §23.電磁場テンソル。 ここで は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル
であるここではミンコフスキー計量の符号を η=diag(-1,+1,+1,+1) に選んでいる。。 また、微分も相対論的な4元ベクトル
である。
定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。 これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 と磁束密度 の各成分に対応する。 電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって
と表される。 あるいは各成分毎に
と書くことが出来る。 具体的には
である。上付きの は
となる。それぞれ行列の形で表せば
となる。
双対テンソル 完全反対称テンソル を用いれば、電磁場の強度 に双対なテンソル
が定義されるジャクソン 819頁。 具体的には
であり、行列の形で表せば
となる。
媒質中の電磁場 媒質中での電磁場を表す電束密度 と磁場の強度 は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル によって相対論的な形式で記述される。 それぞれの成分は具体的には
であるジャクソン 820頁。このテンソル はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。 サブ電磁テンソル は電磁場の強度 と
で関係付けられる。ここで は分極テンソルであり、その成分は誘電分極 と磁化 である。 具体的には
である。 サブ電磁テンソル と分極テンソル をそれぞれ行列の形で表せば
である。
球座標表示 球面座標系 による4元ポテンシャルの成分表示は
であり、電磁場強度 として
が得られる。 平坦な時空のミンコフスキー計量とその逆行列は球座標において
であり、電磁場強度の添え字を上げると
となる。
例えば、原点に点電荷 が存在するときの電磁場テンソルは
で表される。
マクスウェルの方程式 電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。 定義からビアンキ恒等式
が成り立つランダウ, リフシッツ pp.74-75, §26.マクスウェル方程式の第1の組。 双対テンソルを用いれば
と表すことも出来る。 この式は添え字 についての4つの方程式であり、それぞれ
と対応する。
自由空間における電磁場の運動方程式は
と表される。 ここで は4元電流密度である。 この式は添え字 についての4つの方程式であり、それぞれ
と対応する。
媒質中の運動方程式 媒質中の運動方程式は
と表される。 成分ごとにそれぞれ
である。
ローレンツ力 電磁場テンソルは荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述する際に現れる。 相対論的な粒子の位置を で表すとき、電荷 を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は
となる。 ここで は粒子の4元運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。
一般相対論 時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、レヴィ・チヴィタ接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度 は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため
となるランダウ, リフシッツ pp.285-287, §90.。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は
であり、共変微分への置き換えが必要となる。
脚注
注釈
出典
参考文献
関連項目 電磁気学 特殊相対性理論 テンソル マクスウェル方程式 アインシュタインの縮約記法